曲線の長さが０になる

質問

極座標
r=a(1+cos_θ)(a>=0,0<=θ<=2π)
l=∫(0->2π)√((dr/dθ)^2+r^2)dθ
l=a*∫(0->2π)√(sin_θ^2+(1+cos_θ)^2)dθ
l=√2*a*∫(0->2π)√(1+cos_θ)dθ
l=(√2)^2*a*∫(0->2π)√(cos_θ/2)^2*dθ
l=2*a*∫(0->2π)cos_(θ/2)*dθ
l=4*a*(sin_(θ/2))(0->2π)
l=0
となります。
解答は8aです。
どこが間違っていますか？
よろしくお願いします。
ちなみに、
l=2*4*a*(sin_(θ/2))(0->π)
というのはわかります。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

√(cos(θ/2))^2=|cos(θ/2)|
です。

お礼

極座標
r=a(1+cos_θ)(a>=0,0<=θ<=2π)
l=∫(0->2π)√((dr/dθ)^2+r^2)dθ
l=a*∫(0->2π)√(sin_θ^2+(1+cos_θ)^2)dθ
l=√2*a*∫(0->2π)√(1+cos_θ)dθ
l=(√2)^2*a*∫(0->2π)√(cos_θ/2)^2*dθ
l=2*a*∫(0->2π)|cos_(θ/2)|*dθ
l=2*a*(∫(0->π/2)cos_(θ/2)*dθ-∫(π/2->3π/2)cos_(θ/2)*dθ+∫(3π/2->2π)cos_(θ/2)*dθ)
l=8*a
となりました。
ありがとうございました。