乱流における管断面平均流速について

質問

乱流の場合、指数法則によると、

U/Umax = (1-r/R)^（1/n）　
　　U：速度分布、Umax：最大速度、r：仮想管半径、R：円管半径

なる実験式が得られますが、

n=7　のときの、管断面平均速度を求めたいため、

V = 1/(πR^2)∫2πrUdr （積分範囲は、0からR）に、上記の実験式を用いて計算をしたいのですが、

7乗根をうまく積分する方法がわかりません。

テキストでは中間の計算式が省いてあるため、困っております。
ご教授をお願いいたします。

回答No.1

noname#252183 · ベストアンサー

U/Umax = (1-r/R)^（1/7)・・・(1)

平均流速を求める式
V = 1/(πR^2)∫2πrUdr ・・・(2)
を正しく出しているのに、(2)に(1)を代入し整理した

V=A・∫ｒ・(1-ｒ/R)＾(1/7)dr・・・(3)
ただし　A=2・Umax/R^2

の積分ができない筈はないでしょうが、まあ、部分積分か置換積分で計算できます。
部分積分：∫f(x)・g(x)dx＝[F(x)・g(x)]－∫F(x)・g'(x)dx
の場合、ｒ←ｘ、　f(r)＝(1-ｒ/R)＾(1/7)、g(r)＝ｒ　と置けば積分できますが、途中で ｓ＝1-ｒ/R と置換する必要が出てきますので、それなら最初から置換積分でも同じこと。

置換積分：
ｓ＝1-ｒ/R・・・(4)
と置くと、
ｒ＝R(1－s)　→ dr/ds＝－R → ds/dr＝－1/R　・・・(5)
(3)は
V/A＝∫ｒ・(1-ｒ/R)＾(1/7)dr＝∫R(1-s)・s＾(1/7)・(ds/dr)・dr
＝－R∫｛s＾(1/7)－s＾(8/7)}・(ds)
＝－R｛[（7/8)・ｓ＾(8/7)]－[（7/15)・ｓ＾(15/7)]｝
積分範囲は、ｒで 0→R だったので、(4)式より　ｓでは　1→0。
＝－R｛[（7/8)・0＾(8/7)－（7/8)・1＾(8/7)]－[（7/15)・0＾(15/7)－（7/15)・1＾(15/7)]｝
＝R｛（7/8）－(7/15)｝＝（49/120)・R
V=（49/120)・R・A＝（49/120)・R・2・Umax/R^2＝(49/60)・Umax/R　・・・答
・・・で計算合ってるかな？

お礼

ご指摘の通り、置換積分で計算しなおしてみたところ、以下となりました。

V/A＝∫ｒ・(1-ｒ/R)＾(1/7)dr＝∫R(1-s)・s＾(1/7)・-R・ds
＝－R^2∫｛s＾(1/7)－s＾(8/7)}・(ds)
＝－R^2｛[（7/8)・ｓ＾(8/7)]－[（7/15)・ｓ＾(15/7)]｝

積分範囲は　1→0　になるため、
V/A = 49/120・R^2
V = (49/60) Umax　・・・答

＜補足＞
久々に積分の計算をしたため、自信なく計算していたのが、問題だったようでした。ご指摘いただいたことで、計算の方針自体に自信を持つことができ、解答にたどり着くことができました。
すばやい回答ありがとうございました。

回答No.2

noname#252183

#1です。
最後にRが残るのは変だと思って改めて検算したら、やはり計算を間違えていました。正解は・・・
また間違えそうだから、正解が出ましたら補足欄へど～ぞ。