角運動量演算子

質問

以下の問題を考えています。
l=1,s=1/2の電子を考える。電子の全角運動量を\hat{J}=\hat{L}+\hat{S}とするとき以下の問題に答えよ。
(1)
量子数Jのとる値
(2)
量子数Jの最大値に対して以下の問いに答えよ
(i)
J_{z}の値
(ii)
\hat{J}^{2},\hat{J}_{z},\hat{J}_{x},\hat{J}_{y},\hat{J}_{±}の行列表現と固有ベクトル

一応といてみたのですが
(1)
1*(1+1)+1/2*3/2+2*1*1/2=J(J+1)
より,
J=3/2,-5/2
(2)
(i)
J_{z}=-3/2,-1/2,1/2,3/2
(ii)
\hat{J}_{z}=
2/3 0 0 0
0 1/2 0 0
0 0 -1/2 0
0 0 0 -3/2

固有ベクトル
(2/3) (1/2) (-1/2) (-3/2)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

まで求めました。
正直あまり自信はないですが,合っていますでしょうか？
また,解けていない行列表現のとき方を教えていただけますか？？

回答No.6

eatern27 · ベストアンサー

#5の補足の感じで、まぁ、いいかな。

(2)に関してですが、
#4の補足にある、\hat{h}というのが何なのかよく分かりませんが、それを無視すれば、正しそうです。(2,√3のような値が正しいかどうかはチェックしていませんが)

回答No.5

eatern27

(1)
正しかったのは、答えだけ、かな。

>j^{2}=l^{2}+s^{2}+2*l*s
>j^{2}=l^{2}+s^{2}-2*l*s
こういうのを見る限り、L・Sを±lsとしているように見えますが、こうなるという根拠は？
普通のベクトルの場合に、LとSのなす角度を変えれば、L・Sという内積は、-|L||S|以上|L||S|以下の「任意の値」をとる事ができるのは知っていますか？
角運動量演算子の場合にも、これと同じように、ある範囲内の値をとりうるんですよ。J^2の値(固有値)が飛び飛びの値しかとらないので、「任意の値」とはなりませんがね。

※あと、J^2=j^2ではなく、J^2=j(j+1)ですよ。#1とかで書いたのは、あくまでもJなどが普通のベクトルの時の話です。角運動量演算子の場合の話と混同してはいけません。

#1の最後に書いたことですが、量子力学の教科書(の角運動量の合成の部分)は読んだんですか？
これまでに、実際に(1)はどう考えればいいのか、って事は基本的に書いてないので、分からないのであれば、まずは、教科書を読みましょう。

補足

全角運動量量子数Jは
J=|l-s|,|l-s|+1,......,l+s-1,l+s
の範囲にあるので
J=|1-1/2|,1+1/2
=1/2,3/2
でよろしいでしょうか

回答No.4

eatern27

>j=1±1/2
>=1/2,3/2
「1±1/2」という書き方が出てくる理由がさっぱり分かりませんが、とりあえず、答えだけは正しいです。

>J_{z}=-3/2,-1/2,1/2,3/2
こっちはOK.

補足

(1)
l=1,s=1/2のとき
j^{2}=l^{2}+s^{2}+2*l*s
=1^{2}+1/2^{2}+2*1*1/2
=9/4
l=1.s=-1/2のとき
j^{2}=l^{2}+s^{2}+2*l*s
=1^{2}+1/2^{2}-2*1*1/2
=1/4
よって,j=1/2,3/2と考えました。
(2)(ii)も考えてみました
\hat{J}^{2}=
\hat{h}^{2}*
4/15 0 0 0
0 4/15 0 0
0 0 4/15 0
0 0 0 4/15

\hat{J}_{z}=
3/2 0 0 0
0 1/2 0 0
0 0 -1/2 0
0 0 0 -3/2

\hat{J}_{+}=
\hat{h}*
0 \sqrt{3} 0 0
0 0 2 0
0 0 0 \sqrt{3}
0 0 0 0

\hat{J}_{-}=
\hat{h}*
0 0 0 0
\sqrt{3} 0 0 0
0 2 0 0
0 0 \sqrt{3} 0

\hat{J}_{x}=
1/2*\hat{h}*
0 \sqrt{3} 0 0
\sqrt{3} 0 2 0
0 2 0 \sqrt{3}
0 0 \sqrt{3} 0

\hat{J}_{y}=
1/(2i)*\hat{h}*
0 \sqrt{3} 0 0
-\sqrt{3} 0 2 0
0 -2 0 \sqrt{3}
0 0 -\sqrt{3} 0 0

よろしくお願いします。

回答No.3

eatern27

>2 L・Sは負にもなり得るので2|L|・|S|と同じではないということでよろしいでしょうか
負にもなるからっていうか、L・S=|L||S|cosθ(θはLとSのなす角)であって、|L||S|ではない、ってだけです。
※ちなみに、θ=0の場合、L・S=|L||S|が成り立ちますが、それでも#1での、|J|=±3/2という答えは間違いです。つまり、他にも間違いがあります。

L^2=l(l+1)
におけるlのような量子数は、普通のベクトルで言う「ベクトルの長さ」に相当する量です。

>1*(1+1)+1/2*3/2+2*1*1/2=J(J+1)
この部分で、2L・S=2*l*sという変形をしているわけですが、上記と全く同様の理由でこのような変形はできません。

なお、LとSが同じ方向を向いている場合に限れば、
>1*(1+1)+1/2*3/2+2*1*1/2=J(J+1)
は一応、正しいですが、ここから、
>J=3/2,-5/2
とするのは正しくありません。

補足

なるほど
(1)
j=1±1/2
=1/2,3/2

(2)
J_{z}=-3/2,-1/2,1/2,3/2
でよろしいでしょうか

回答No.2

eatern27

>|J|^2 =J(J+1)
>|L|^2 =L(L+1)
>|S|^2 =S(S+1)
>でしょうか？

L,S,Jという文字を使っていますが、＃１に書いたのは、(高校で習うような)普通のベクトルだと思ってください。

そもそも、#1で、最終的に|J|=±3/2と出てきたのが間違いなのは分かるんですか？
例えば、L=(1,0)、S=(-1/2,0)とでもすれば|J|は3/2にも-3/2にもなりませんよね？

補足

2 L・Sは負にもなり得るので2|L|・|S|と同じではないということでよろしいでしょうか

回答No.1

eatern27

>(1)
>1*(1+1)+1/2*3/2+2*1*1/2=J(J+1)
>より,
>J=3/2,-5/2

普通の(古典的な)ベクトルLとベクトルSがあって、|L|=1,|S|=1/2だとしましょう。J=L+Sとした時、
|J|^2
=|L+S|^2
=|L|^2 +|S|^2+2 L・S
=|L|^2 +|S|^2+2|L|*|S|
=1^2 + (1/2)^2 +2 1*1/2
=9/4
であるから、|J|=±3/2。

|J|=±3/2に至るまでの過程のどこが間違っているか指摘できますか？

とりあえず、量子力学の教科書の「角運動量の合成」の部分を読んだ方がいいのでは。

補足

早い回答ありがとうございます。

あまり自信はないのですが
|J|^2 =J(J+1)
|L|^2 =L(L+1)
|S|^2 =S(S+1)
でしょうか？