機械力学の問題について

質問

ゴム球を3mの高さから宇井兵な床の上に落としたとき、跳ね返りの係数e＝0.8とすると、いくらの高さまで跳ね上がるか。またこのゴム球が静止るまでにいくらの距離を動くか。この問題がわからなくて困っています。教えてください。お願いします。

回答No.2

h191224

はね返り係数ｅは、衝突前後の速度を、それぞれｖ1、ｖ2とすると、
ｅ＝｜ｖ2／ｖ1｜　・・・　(1)
で定義されます。
一方、最初の高さをｈ1、衝突後の高さをｈ2とし、それぞれの位置エネルギーをＵ1、Ｕ2とすると、
Ｕ1＝ｍｇｈ1　・・・　(2)
Ｕ2＝ｍｇｈ2　・・・　(3)

これらは、衝突直前直後では、すべてが運動エネルギーに変わるため、
Ｕ1＝ｍｖ12／2　・・・　(4)
Ｕ2＝ｍｖ22／2　・・・　(5)
となります。

等しいもの同士を等値して、衝突直前直後の速度を求めると、
ｍｇｈ1＝ｍｖ12／2　⇔　ｇｈ1＝ｖ12／2
　→　ｖ1＝√(2ｇｈ1)　・・・　(6)
ｍｇｈ2＝ｍｖ22／2　⇔　ｇｈ2＝ｖ22／2
　→　ｖ2＝√(2ｇｈ2)　・・・　(7)

(1)式に代入すると、
ｅ＝｜ｖ2／ｖ1｜　＝√(ｈ2／ｈ1)　・・・　(8)
よって、
ｈ2＝ｅ^2・ｈ1　・・・　(9)
となります。
このことから、衝突後の高さは、衝突前に比べ、はね返り係数の２乗の比率だけ小さくなることがわかります。
No.1の方の回答は、「うろ覚え」とおっしゃっているだけあって、この点が間違っていますね。

静止までに動く距離Ｌは、
１回目のはね返りで動く距離は、ｈ1＋ｈ2
２回目のはね返りで動く距離は、ｈ2＋ｈ3
・・・
となることから、これを足していけば、
Ｌ＝　ｈ1＋ｈ2　＋　ｈ2＋ｈ3　＋　ｈ3＋ｈ4　・・・
＝(1＋ｅ^2)ｈ1＋(1＋ｅ^2)ｅ^2ｈ1＋(1＋ｅ^2)ｅ^4ｈ1・・・
＝ｈ1*(1＋ｅ^2)*(１＋ｅ^2＋ｅ^4　・・・)

上の式の最後の（）内は、初項が１、公比ｅ^2(＜1)の等比級数で、その和Ｓは、
Ｓ＝１／(１－ｅ^2)
なので、
Ｌ＝ｈ1*(1＋ｅ^2)／(１－ｅ^2)
となります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

suraimuken

うろ覚えですが、跳ね返り係数は、そのまま掛け算すれば良かったと思います。
3〔ｍ〕×0.8〔比：単位なし〕＝2.4〔ｍ〕

静止するまでにいくらの距離を動くのか、に関しては、
まずゴム球の動き、落ちて跳ね返って落ちて跳ね返って・・・
という場面を想像してください。

３ｍ落ちて、３×０．８ｍあがって、そこからまた落ちて、落ちた後０．８かけた分上がって・・・

落ちた距離と上がった距離を別々に式にすると、
落ちた距離の合計↓　　　　　　　　あがった距離の合計↓
３　＋　　　　　　　　　　　　　　３×０．８　＋
３×０．８　＋　　　　　　　　　　３×０．８×０．８　＋
３×０．８×０．８　＋　　　　　　３×０．８×０．８×０．８　＋
３×０．８×０．８×０．８　＋

となります。
ここで高校数学で習った「無限等比級数の和の公式」を使います。
式はググればすぐ出てくると思います。
式どおりに計算すると、
落ちた距離の合計＝１５ｍ　あがった距離の合計＝１２ｍ
よって、止まるまでに２７ｍ動くことになります。

お礼

ありがとうございました。