抵抗力のある水平運動

質問

まず摩擦は無くて初速度v0で質点を運動させます。
その状態で抵抗力bvがかかる時この質点が止まるまでにすすむ距離を求める

という問題なんですがわからないんです・・・・・。どなたか解放を教えてください！！

回答No.3

noname#96417

質点が距離 Δx だけ運動する間の運動エネルギーの変化 Δ(m v^2 / 2) (= m v Δv)は、その間に摩擦力のする仕事に等しく - b v Δx 。よって、
m v Δv = - b v Δx 。
これから
Δx = - (m / b)Δv 。
抵抗力がかかり始めてから質点が止まるまでの Δv は - v0 。よって、その間の Δx は
Δx = m v0 / b 。

回答No.2

sanori

こんにちは。

たぶん　ｂ＞０　だということなのでしょうね。
であれば、抵抗力は、－ｂｖ

Ｎｏ．１様のご説明のとおり、
－ｂｖ　＝　ｍ・ｄｖ／ｄｔ
を解くことになりますが、実際やってみると、ちょっとややこしいので、
手順を書いてみますね。

－ｂｖ　＝　ｍ・ｄｖ／ｄｔ
－ｂ／ｍ・ｄｔ　＝　ｄｖ／ｖ
－ｂ／ｍ・∫ｄｔ　＝　∫ｄｖ／ｖ
－ｂ／ｍ・ｔ　＝　ln｜ｖ｜　＋　Ｃ

ｔ＝０　のとき　ｖ＝ｖo　なので、
－ｂ／ｍ・０　＝　ln｜ｖo｜　＋　Ｃ
よって、
Ｃ　＝　－ln｜ｖo｜

よって、
－ｂ／ｍ・ｔ　＝　ln｜ｖ｜　－　ln｜ｖo｜
－ｂ／ｍ・ｔ　＝　ln｜ｖ／ｖo｜
ｅ^(-b/m・t)　＝　ｖ／ｖo　　　・・・【Ａ】

これで、ｖとｔの関係が出ました。
次は、ｘ（位置）とｔの関係を求めます。

両辺をｔで積分。
（ｖを積分すると、位置ｘになる）
∫ｅ^(-b/m・t)ｄｔ　＝　１／ｖo・∫ｖｄｔ
－ｍ／ｂ・ｅ^(-b/m・t)　＝　ｘ／ｖo　＋　Ｃその２

ｔ＝０　のとき、ｘ＝０　とすれば、
－ｍ／ｂ・ｅ^(-b/m・0)　＝　０／ｖo　＋　Ｃその２
Ｃその２　＝　－ｍ／ｂ

よって、
－ｍ／ｂ・ｅ^(-b/m・t)　＝　ｘ／ｖo　－　ｍ／ｂ
ｘ　＝　ｍｖo（１－ｅ^(-b/m・t)）／ｂ
となります。

これで、ｘとｔの関係が導けました。

しかし、ここからの考え方が大事になります。
式を見てわかるとおり、時間ｔがどれだけ大きくなっても、ｘは変化しつづけます。
すなわち、いつまで経っても質点は静止しません！
（式【Ａ】の時点で、すでに、ｖをゼロにすると、ｔが無限大になって困るということからもわかります。）

しかしながら、
ｔ→∞　　のとき、　ｅ^(-b/m・t)　→　０　　となりますので、
ある距離に近づく（収束する）ということになります。

ｔ　→　∞
ｘ　→　ｍｖo（１－ｅ^(-b/m・t)）／ｂ
　→　ｍｖo（１－０）／ｂ
　→　ｍｖo／ｂ　（＝　こたえ）

以上、ご参考になりましたら幸いです。

回答No.1

g-space

b>0として、質点の進行方向を正の向き（x軸の正の向き）とします。また抵抗力が働き始める位置をx=0とします。（いただいた問題では「出発点」が記されていませんので、ここを距離を測る原点とします。）
　このとき、質点が受ける力は-bvのみですから、運動方程式は、質点の質量をmとして、

　　　-bv=m(dv/dt)

となります。「-」符号は、進行方向と逆向きに力が働くことを示します。
　これを初期条件、t=0のときv=v0、x=0のもとに解きます。

お礼

なるほど。ｖ＝ｖ０を入れていませんでした・・・！
ありがとうございます！！！