無限等比数列

質問

数列{r^n}が収束するとー1≦r≦1が成り立つのはなぜですか。

回答No.3

m31s15 · ベストアンサー

まず、ｎを大きくしていくと、ｒを上塗りしてどんどん掛けていくことになります。
ｒの絶対値が1より小さいと、（絶対値が）1より小さいもの（例えば１/２）を永久に掛けていくことになりますから、その行き着く先は０となり（近づき）、収束するんです。
ｒ＝1のときは、1を何回掛けても1なので、1に収束します。
もうすでに書かれている方もいらっしゃいますが、このとき、ｒ＝－1は除外されます。試しに紙とペンを用意して、－1にどんどん－1をかけて、それらの数を並べてみてください。納得できると思います。
以上まとめると、－1＜ｒ≦１で、lim(n→∞)ｒ＾ｎは収束です。

回答No.5

m31s15

No.３です。すみません、「級数」ではなく「数列」でしたね（汗）

回答No.4

m31s15

No.３です。
最初の方も書いていらっしゃいますが、一応書いておきます。ｒ＜－１、ｒ＞１のときは、絶対値が1より大きいものを永久に掛けていくので、無限級数は発散します。

回答No.2

ilikeit

{r^n}が収束するのは「-1≦r≦1」のとき。また{r^n}が収束すると「-1≦r≦1」です。

http://phaos.hp.infoseek.co.jp/part2/sequence/limit/geometric.htm

ここを見ればわかると思います。（すみません、パソコンで記号を打つのが大変たため、この説明に任せます。）

回答No.1

mirinsatou

もし r < -1 か r > 1 だったら収束しないからです。(証明したいことの対偶ですね)

実際に絶対値が1より大きい数をどんどんかけていけばどんどん絶対値が大きくなることは想像できますか?

ちなみに、もっと強く、 r は -1 ではないことも証明できますね。