半正定値と凸の関係

質問

２次関数
　　f(x)＝cT・x＋xT・Q・x　（x∊Rn）
　　Tは転置
において、c∊Rn、Q:n×n実対称行列とするとき、
「Ｑが半正定値であるときに限り凸関数となる」とあるのですが、理由がよく分かりません。
Ｑの要素が負であっても、上に凸になるのではないのですか？

回答No.1

gef00675 · ベストアンサー

その通り。Ｑの要素に負でないものがあっても、凸関数になる場合はあります。
「Ｑが半正定値」であることの定義は、
任意のxについて
x^T Ｑ x ≧0
となることであって、そのことは
Ｑの要素の正負とは関係ありません。
例：Ｑ＝
1 -1
-1 1
は、(x y)^T Q (x y)= x^2 -2 xy +y^2 = (x-y)^2≧0だから、Ｑは半正定値であり、この２次形式は凸関数になっています。