理想気体に関する問題です

質問

質量ｍの粒子がＭ個あり、それが平均速度ｖで運動している系がある。
この系全体のエネルギーを求めよ。　　

という問いがあります。答えていただける方はいらっしゃいますか？

回答No.1

noname#160321 · ベストアンサー

ごく常識的には、
単粒子のエネルギー：(1/2)ｍｖ^2
全エネルギー：(1/2)Mｍ^2
になりますけど。

お礼

ありがとうございます。
よろしければ途中の計算式も教えていただけますか？

回答No.4

jamf0421

平均速度という意味が曲者ですね。もし2乗平均速度即ち、
(V1^2+V2^2+V3^2+...+VM^2)/M=<V^2>...(1)
だとすると話は簡単です。総運動エネルギーは
E=(1/2)mV1^2+(1/2)mV2^2+...+(1/2)mVM^2=M*(1/2)m<V^2>...(2)
となります。これなら対象はなんでも大丈夫なはなしです。
しかし
(V1+V2+....VM)/M=<V>...(3)
だとすると話が違ってきます。そうなると早さの平均値の由来が必要です。一応理想気体の分子を考えます。（他の系だとさしあたり考えようがありません。）速度分布関数をN<V>として
∫VN(V)dV=N<V>...(4)
の関係があります。N<V>はMaxwellの速度分布で
N<V>=N(m/2πkT)^(3/2) x exp(-mV^2/2kT)...(5)
ですから、これを(4)に代入して結局
<V>=(8kT/πm)^1/2...(6)
となります。これと<V^2>の数値の関係が分かれば(2)をつかって総運動エネルギーがでます。
<V^2>の計算はどこにでもでてますが簡略に出せば以下の如くです。
ガスがviの速度で壁に向かって当り跳ね返ると壁の受ける力積（=分子の運動量変化）が2mviとなります。ガスが1次元だけで動いて単位面積の壁に当るなら（この仮定はあとで正しく直します。）、ある時間Δtの間にはv*Δt*1（1の意味は単位面積）の空間にいた分子が壁にぶつかります。そして分子は体積W(Vと書くと速度と紛らわしいので区別します。）の中に一様分布していたとすると、vΔt/Vだけが壁にぶつかったことになります。結局単位面積の壁のΔtの間に受ける力積の総量は
Σ(viΔt/W)2mvi...<7>
単位面積の壁が気体によって受ける力とは圧力PでΔt時間でのり力積はPΔtになりますから
PΔt=(1/W)ΣviΔt*mvi...<8>
即ち
P=(1/W)Σmvi^2...(8)'
となります。<8>で右辺が<7>の半分になっているのは初めの仮定ではv*Δt*1の空間にいる分子がすべて壁に向かったとしているのですが、半分しか向かわずあと半分は反対向きとするからです。ところで分子総数をN個(Avogadro数）として
Σvi^2=N<v^2>...(9)
です。またいままで1次元としていましたが3次元で3方向に等分にいっているとすれば、(9)と(8)’から
PW=(1/3)Nm<v^2>...(10)
です。さて気体の総エネルギーは(2)の通りで
E=(1/2)Nm<V^2>...(2)'
ですからこれと(10)とくらべれば
PW=（2/3）E...(11)
です。これをPW=RT(普通はPV=RTと書きますが）とくらべれば
E=(3/2)RT...(12)
であることが判ります。(2)'と(12)から
(1/2)m<V^2>=3RT/2N...(13)
となります。ここでR/N=kとなります。kはボルツマン定数です。
(13)より
<V^2>=3kT/m...(14)
で、これと(6)を比べればEを<V>でかけます。
E=(1/2)mM<v^2>=(1/2)mM(8/3π)<V>^2=(4/3π)mM<V>^2
となります。

回答No.3

BookerL

横から失礼します。

＞よろしければ途中の計算式も教えていただけますか？

　というのは、

＞単粒子のエネルギー：(1/2)ｍｖ^2

のことですね？（後の方は、Ｍ個の合計が１個の値のＭ倍、というだけですから。）

http://www.fnorio.com/0063work_&_energy1/Work_&_energy1.htm#2

とか

http://www.kdcnet.ac.jp/college/buturi/kougi/buturiko/mechanics/mechan4/ke.htm

あたりを見てください。

※でも、「質量ｍの物体の速度がｖであるときの運動エネルギー」の式がわからなくて、理想気体の分子運動に挑むのは無理があるのでは？

回答No.2

noname#116453

質量mの物体が速度vで移動しているときの運動エネルギーが,
(1/2)ｍｖ^2
であるということは、ニュートン力学の基本です。それがわからないと言われると、化学ではなく、古典力学の説明になります。
で、それがM個あるのだからM倍すれば良いというだけのことです。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/運動エネルギー

お礼

なんだかものすごい勘違いをしていました（笑）
皆さんのおかげで気づけました！！
ありがとうございます。