平方数・立法数の級数の公式の導出について

質問

以下の２つの級数について、公式は分かっているのですが、導出方法がわかりません。わかる方、お願いいたします。

S(n)＝1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋・・・＋n^2＝n(n＋1)(2n＋1)/6
T(n)＝1^3＋2^3＋3^3＋4^3＋・・・＋n^3＝{n(n+1)/2}^2

回答No.1

owata-www · ベストアンサー

S(n)
(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1
はいいですよね

2^3-1^3＝3*1^2+3*1+1
3^3-2^3＝3*2^2+3*2+1
…
(n+1)^3-n^3＝3*n^2+3*n+1
より
(n+1)^3-1^3＝3(n^2+…+2^2+1^2)+3(n+…+2+1)+n

よって、
3(n^2+…+2^2+1^2)＝(n+1)^3-1^3-3(n+…+2+1)-n
後は整理

T(n)の方も同様に…と思ったら過去質問があったので
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa955202.html

お礼

ご回答ありがとうございました。
なるほどと思いました。

また、S(n)がわかれば、
T(n)も類似の手法で計算できるということですね。

すっきりしました。
ありがとうございました