慣性の法則と古典力学

質問

高校の時から、疑問に思ってたのですが、
ニュートン力学の第1法則（慣性の法則）ってなんのためにあるんでしょうか。
そもそも公理なんですか？
考える対象を慣性系に限るって言い換えれば公理にも思えるし
Ｆ＝ｍａから、わかっちゃうじゃんとか
電車のなかとか（慣性系でない系）なら崩れるじゃんって思ったりします。
また、ニュートン力学の公理は、ニュートン力学でない別の力学の体系（ラグランジュやハミルトン）の公理の同値変形で得られるはずだから、そこから慣性の法則が公理かどうかは分かるような…。
長くなってすみません。家庭教師のバイトのときどう説明したらよいか、困ってしまいました。よろしくお願いします。

回答No.4

kappaRida

高校の履修課程で説明できうる範囲での回答。
例題）加速度運動する列車内に糸Ｑでつるされた物体Ｐの運動

　・列車の加速度を地面に対し水平にａ
　・物体Ｐの質量をｍ
　・糸Ｑ の 張力大きさをＴ
　・糸Ｑが鉛直下向きとなす角ｄ（角度ｄは一定）
　・地表が球面であることは無視、地面は水平で平ら

慣性力を導入するための問い。
　（１）観測者Ａは地表に対して静止している。観測者Ａの観測する物体Ｐの「運動方程式またはつりあいの式」を書け。
　（２）観測者Ｂは列車内に列車に対して静止している。観測者Ｂの観測する物体Ｐの「運動方程式またはつりあいの式」を書け。

　運動方程式の公式：ｍａ＝Ｆ、つりあいの式の公式：Ｆ＝０
　　　　　ｍ：質量、ａ：加速度（観測者の観測する加速度）、Ｆ：合力（力の和）

＜答え＞
（１）　ｍａ＝　Ｔsinｄ　　（式の意味：質量ｍの物体に加速度ａが生じるのだが、・・・、「原因物体」が糸Ｑである張力Ｔの水平成分Ｔsinｄである）
（２）　Ｔsinｄ＋（　？　）＝０　（式の意味：Ｔの水平成分Ｔsinｄと「なぞの力」（？）の和があって、和が０となり・・・静止している。）

　なぞの力（？）は、物体Ｐと同じ条件下の観測者Ｂにも作用するはず。
観測者Ｂは自身の体が加速度と反対に引っ張られるように感じる。
　観測者Ｂが感じるにもかかわらず、作用させている「原因物体」が存在しない「なぞの力」とは何か。

力についての約束を１つ増やす。
　「実在の力」＝「何という物体から、何という物体に働いているかわかる力」
　「なぞの力」＝「何という物体から、何という物体に働いているのか明らかにならない力」

　補足：実在の力（張力、重力、など）は、電気や重力などの力で説明できる。

「なぞの力」の生じた原因は、「観測者Ｂが加速度ａで加速度運動をしたから」。（物体Ｑが加速度運動したからではありません）。
この「なぞの力」に、「慣性力」という呼称を与えます。

（１）　ｍａ＝　Ｔsinｄ　　
（２）　Ｔsinｄ＋（　？　）＝０　
この２つの式がどうぎなので、（？）＝（－ｍａ）。
「慣性力」は、観測者の加速度をａとすると、「－ｍａ」と表せる。

例題からわかること以下。

運動の第２法則（運動の法則）について、
力には２種類あり、実在の力と慣性力と呼称を与える。
静止または等速直線運動する観測者A（これを慣性系とよぶ）は実在の力のみで運動を説明する。
　　ｍａ＝　Ｔsinｄ　　

慣性系に対し加速度運動する観測者B（これを加速度系とよぶ）は実在の力だけでは運動を説明できないので、慣性力を登場させる。
　　Ｔsinｄ＋（　？　）＝０　ただし、（？）＝（－ｍａ）　　
　（補足：運動方程式に、加速度＝０を代入して、つりあいの式ができます。）

実在の力には反作用が存在するが、慣性力には反作用が存在しない。原因物体がないから。
（原因物体ではなく、「加速度運動する観測系全体を原因物体の代わりとする」説明もありますが、高校生の理解は超えるのでここでは却下）

結果、観測者のが、慣性系か非慣性系かで、運動の２・３法則の使い方に違いが生じますね。
どんな観測系で第２・３法則を利用するのか、先に決めておかないと混乱の元になるのです。
（現に、高校生の教育の場はこの点で混乱している）
法則の入り口で「あなたは、慣性系と非慣性系のどちらですか？」。それを決めてから、ニュートンの法則世界にご入場くださいということ。

そこで、入り口に第１法則としてこう書きます。
「観測系として慣性系を採用する。その中では第２・３法則がそのまま利用できることを保障する」、と。（非慣性系では、保障しない、と。）

回答No.3

fine001

こんばんは
果たして、ma=Fで十分なのでしょうか？

運動方程式で、F=0とおけば、m≠0であるからa=0即ち等速直線運動を導けるので、第2法則である運動方程式は第1法則を包含している。したがって、第2法則のみで十分だ。

という、議論を時折聞いたことはあります。でも、少しおかしいのではないでしょうか。
第1法則が成立する観測者の立場（慣性系）に立って、初めてF=maが成立するのです。したがって、運動方程式が第1法則を含んでいるのは当たり前です。含んでいると言うよりも、前提としていると言うことでしょう。

補足

ありがとうございます。
あー確かに。
結局、公理ですよね。

回答No.2

noname#221368

＞家庭教師のバイトのときどう説明したらよいか、困ってしまいました。
　実用的に考えれば、Ｆ＝ｍａで十分ですよね。でも、

＞電車のなかとか（慣性系でない系）なら崩れるじゃんって・・・
　って事があるので、「定義は必要ですよねぇ～」と。それが第1法則で、「学問なんてそんな物」というのでは、バイトのときの説明にはなりませんか？。

　以下には、個人的見解が多量に含まれています。

　力の有無は、経験的に判定できる（例えば電車内なら、慣性力を「感じる」事ができる）という事を前提に、#1さんの仰るように、第1法則は、

＞ある意味でその「慣性系」が(少なくとも１つは)存在するという事を主張しているわけで・・・

となる気がします。そして「慣性系」が一つでも存在すれば、「それ上で等速直線運動する事」を、「力が働かない事」の定義にできます。
　とすれば、「力の有無はいつでも経験的に観測できる」という事の一点に、「第1法則がちゃんと定義として機能するかどうか？」は関わってきます。この点に関しては、具体的にはマッハが言い出したのかも知れませんが、有名な（？）ニュートンのバケツがあります。
　水を張ったバケツをグルグル回せば、水面はバケツの壁面に行くほど盛り上がる。従って遠心力（電車内の慣性力）という形で、向心加速度（求心力や電車の発進力）はいつでも観測できるじゃないか！、というわけです。

　マッハとは、音速の単位になったエルンスト・マッハです。マッハは、これと似た議論を、質量の定義に関しても、「力学の批判的発展史」の中で延々とやってくれます。彼の結論は「第1法則不要！」でしたが、現在では、この立場は「やり過ぎだ」とみなされているようです。

お礼

ありがとうございます。
慣性力が混乱の元でした。

回答No.1

eatern27

>考える対象を慣性系に限るって言い換えれば公理にも思えるし
第１法則は、ある意味でその「慣性系」が(少なくとも１つは)存在するという事を主張しているわけで、、

お礼

ありがとうございます。たしかにそう考えられますね。