誤植でしょうか？行列式の交代性の証明について（線型代数入門（齋藤正彦著））

質問

皆様お世話になります。よろしくお願いします。

ただ今「線型代数入門（齋藤正彦）」で勉強中なのですが、
気になるところがあります。

「p.80の行列式の交代性の証明」の所です。
ｎ文字の置換τに対して
『det{<a>_τ(1),<a>_τ(2),・・・,<a>_τ(n)}
　＝sgnτ・det{<a>_1,<a>_2,・・・<a>_n}』の証明せよ。

ただし<a>はn次の列ベクトル

（証明）
det{<a>_τ(1),<a>_τ(2),・・・,<a>_τ(n)}
＝Σ(σ∈S_n)sgnσ・a_(1,τσ(1))a_(2,τσ(2))・・・
・・・a_(n,τσ(n))
＝sgnτΣ(σ∈S_n)sgnτσ・a_(1,τσ(1))a_(2,τσ(2))・・・
・・・a_(n,τσ(n))
σがＳ_ｎ全体を動く時、τσもＳ_ｎ全体を動くから
＝sgnτΣ(σ∈S_n)sgnσ・a_(1,σ(1))a_(2,σ(2))・・a_(n,σ(n))
＝sgnτ・｜Ａ｜

分からない所は
証明の2行目、4行目などの
「a_(1,τσ(1))a_(2,τσ(2))・・・・・・a_(n,τσ(n))」が
「a_(1,στ(1))a_(2,στ(2))・・・・・・a_(n,στ(n))」
なのではないかということです。
つまりτとσの順序が逆なのではないかということです。
やはりτσ(1)とστ(1)では答えが違ってきますよね。

誤植かな、とも思ったのですが、初版も古く有名な本なので、
自分の勘違いだったら大変と思い質問しました。
ちなみに手持ちの本は98年発行の第４３版です。

記号が分かりづらいかと思いますが、質問していただければ補足しますので、よろしくお願い致します。

回答No.2

noname#161582 · ベストアンサー

<a>_τ(k)＝<b>_k ・・・(イ)

とおきます。そうすると各成分の間の関係は

b_(i,k)＝a_(i,τ(k)) ・・・(ロ)

です。

det{<a>_τ(1),<a>_τ(2),・・・,<a>_τ(n)}

＝det{<b>_1,<b>_2,・・・,<b>_n}

Σ(σ∈S_n)sgnσ・b_(1,σ(1))b_(2,σ(2))・・b_(n,σ(n))・・・(ハ)

ここで関係式(ロ)から

b_(1,σ(1))＝a_(1,τ(σ(1)))＝a_(1,τσ(1)),・・,b_(n,σ(n))＝a_(n,τ(σ(n)))＝a_(n,τσ(n))・・・(ニ)

ここまでくれば後はわかると思います。

お礼

本当に大変詳しいご回答どうもありがとうございます。

頭の中が混乱しながらも具体例なども考えてみまして分かってきました。
まだ考え込んでようやく分かるという段階ですが、何度も繰り返して慣れていきたいと思います。

本当にどうもありがとうございます。

回答No.1

kabaokaba

誤植じゃありません．
行列式の定義と置換の積の定義をよく考えればいいだけです
ヒント：
<a>_τ(i)をA_iとおけば
det{<a>_τ(1),<a>_τ(2),・・・,<a>_τ(n)}
=
det{A_1,A_2,・・・,A_n}
これを定義にあわせて展開すれば
Σ(σ∈S_n)sgnσ・A_(1,σ(1))A_(2,σ(2))・・・A_(n,σ(n))

お礼

早速のご回答どうもありがとうございます。

やはり質問してみましてよかったです。
実は調べていましたら
「http://csx.jp/~imakov/lin/node30.html」
のページを見つけまして置換の符号が逆になっているみたいなので、
考えた挙句「線形代数入門」が間違っていると思ってしまいました。

ＨＰの方が間違っているみたいですね。
どうもありがとうございます。

3C273さんの回答なども参考にしまして分かってきました。
どうもありがとうございました。