お茶大０８年理学部数学共通問題第３問(つづき)

質問

先日質問させていただいた「お茶大０８年理学部数学共通問題第３問」［質問番号：4718234］について、
その後、大学の入試チームにお聞きしたところ、
(i) この問題は、あくまでも数学Ｉ，Ａ，ＩＩ，Ｂの範囲で解けるように作った問題である。
(ii)最後の作図の部分は、（楕円の方程式の標準形への式変形や）楕円の作図を要求するものではない。
　　つまり、赤本の解答は「模範解答」ではない。
といった趣旨のお話しでした。

それでは、最後の（式変形や作図の）部分の「模範解答」とはどんなものなのか？と思いましたが、
それについては教えていただけませんでした。

そこで皆さんにお聞きしたいのですが、
この第３問最後の部分についての「数学Ｉ，Ａ，ＩＩ，Ｂの範囲」での「模範解答」というものは、
一体どんなものなのでしょうか？
「数学Ｉ，Ａ，ＩＩ，Ｂの範囲」でのどんな作図が満点なのでしょうか？

よろしくお願いします。

＜参考＞お茶の水女子大学２００８年理学部（化学科以外の）数学共通問題第３問
問題：
座標空間の点Ｐ（１，０，１）を考える．点Ｑがｙｚ平面上の円 ｙ＾２ ＋ （ｚ－３）＾２ ＝ １ の上を動くとき，
２点Ｐ，Ｑを通る直線とｘｙ平面との交点Ｒの描く図形の方程式を求めよ．
またその図形の概形をｘｙ平面上に描け．
答：（ｘ－５／３）＾２／（１／３）＾２ ＋ ｙ＾２／（√（３）／３）＾２ ＝ １ ，ｚ ＝ ０
［ただし，答は赤本による．］

回答No.5

tecchan22 · ベストアンサー

Ｎｏ４です．
よう考えたら，得られた式 9(x-5/3)^2+3y^2=1 から，
y^2=1/3-3(x-5/3)^2
やから，
ｙの（絶対値の）最大値はX=5/3のときでy=±1/√3やし，
ｙの値がx=5/3に関して対称になることも見て取れますね．
そう考えるのが一番簡単か．いやいや失礼しました．

お礼

ご回答をありがとうございました。
確かに、y^2=1/3-3(x-5/3)^2
の形が１番分かりやすいですかね！
あとは、４点(4/3,0),(2,0),(5/3,±1/√3)をとって
図形の概形を描けば、きっと満点ですよね。
再度のご回答をありがとうございました。

【訂正】の【訂正】
回答者Ｎｏ．４さんの「お礼」の中で訂正した数字が
また間違っていました！
正しい座標：(4/3,0),(2,0)
本当に勘違いが多くスミマセン！

回答No.4

tecchan22

円の中心が(3/2,0)に移るから（ｚ座標は省略），
それを内部に持つ丸い感じの形になるはずで，
形からｘ軸に関して対称になるはずやから，
円の端点？４つの，(0,0,2)(0,0,4)(0,1,3)(0,-1,3)の行き先を考えて，
Ａ(2,0),Ｂ(4/3,0),Ｃ(3/2,-1/2),Ｄ(3/2,1/2)になるで，
まあＣ,Ｄは残念ながら，楕円の径にはならんけど，その四点をなんとなく丸くつないだら，たとえx=5/3に関して対称になることに気付かんでも，ｘ軸に関してさえ対称に書けていれば，丸(正解)になるんじゃないでしょうか？

或いは，もう少しキチンと考えると，円上の点Ｑを(0,cosθ,3+sinθ)とパラメータ表示して，直線ＰＱの方程式を立て，ｘｙ平面との交点を求めると(1+1/(2+sinθ),-cosθ/(2+sinθ))になりますよね．

ここからθを消去して図形のｘ，ｙであらわす方程式を得るのでしょうが，もしかしたら，上のパラメータ表示のままでも，図形の方程式として認めてもらえるかもしれません．

また，上のパラメータ表示から，ｙ座標が最大になる点は，高２までの範囲でも計算できますから，それを求めれば，もっと綺麗な図つまり(5/3,±1/√3)が，ｙ座標の絶対値の一番大きな点（つまり一番ふくらんだところ）という図が描けます．

つまり，-cosθ/(2+sinθ)=kとおいて，sinθの二次方程式をつくり，それが-1≦sinθ≦1の範囲に解をもつ条件から，ｋの最大値を求めるんですね．（k=1/√3,θ=120°,240°になります)

もっと細かく調べれば，x=5/3に関して対称ということも導けるでしょうが，そこまではさすがに要求していないでしょう．

ｙ座標の絶対値が一番大きな点を求めていれば，おそらく完璧でしょうが，そうでなくても，最初のＡ,Ｂ,Ｃ,Ｄを求めて丸くつないであれば，ほとんど点はもらえるのでないでしょうか？

ちょっと考えてみただけなので的外れなことを言っているかも知れませんが，僕はそう思います．

お礼

ご回答ありがとうございます。

確かに、「数学Ｉ，Ａ，ＩＩ，Ｂ」の範囲で考えても、
図形の様子がかなり分かるんですね！

しかしそれにしても、この第３問出題の主眼は図形の方程式を求めるさせるところにあると思われるので、
もし図形の様子を調べさせるのであれば、小問（１），（２）と別々の項立てにでもして、
（１）で、図形の方程式を求めよ。
（２）で、図形の様子を調べ、概形を描け。
とでもするほうが、出題の趣旨が捉えやすいのではないでしょうかね。

昨年のように、問題の最後に概形を描けと「軽く」言われると、
どの程度調べて答えればよいのか、受験生は困ってしまう気もしますよね。
いずれにしろ、ご回答をありがとうございました！

【訂正】
回答者のＮｏ．１さんとＮｏ．２さんへの「補足」や「お礼」の中で、
求める図形の方程式や図形上の点の座標が間違っておりましたので、
この場をお借りして訂正します。
正しい方程式：９（ｘ－５／３）＾２ ＋ ３ｙ＾２ ＝ １ ，ｚ ＝ ０
正しい点の座標：（０，４／３），（０，２），（５／３，±√（３）／３）など
いい加減な暗算で急いで書いたので・・・　済みませんでした。

回答No.3

mis_take

この問題は空間図形をイメージできるかどうかを試すものと考えられます。
たとえば，小学生に「大根を斜めに切ったときの切り口を描きなさい」と言ったら，楕円のような形を描くでしょう。
その程度の概形で良いのだと思います。

直線ＰＱの全体が円錐を潰したような形で，それをｘｙ平面で切った切り口が楕円のような形になることがわかればよいのかも知れません。
欲を言えばｘ軸との交点が正確に求められているともっとよいでしょうが。

でも範囲外と言われてもしかたがない危険な出題ですね。

なお，これは「作図」ではなく「描画」です。
作図とは，どのように描くか描き方を説明するものです。

お礼

ご回答をありがとうございました。

確かに、問題の最後の部分は空間図形のイメージを問う設問ということかもしれませんね。
ですから、大体「つぶれた円」のような図が描ければ「満点」ということなのでしょうか。

なお、「作図」という用語は確かに不適切でしたね。あまり気にせずに安易に使ってしましました。済みません。

いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

回答No.2

33550336

概形を書け、と要求されているので主要な値をいくつか代入してみて、あとは推測で描けばいいのではないでしょうか？
多分点を１０個ぐらいプロットしてみればだいたいの図は書けると思います。
ただ、それを入試問題として採用すべきかは疑問ですが…

お礼

ご回答ありがとうございます。
確かに、いくつかのグラフ上の点を見つけることが比較的簡単にできて、
後はあて推量で描けばよい、ということなのでしょうかね？？

具体的には、求めた方程式が
３（ｘ－５／３）＾２ ＋ ｙ＾２ ＝ ９ ，ｚ ＝ ０
ですから、例えば、ｘ＝０のときは、ｙ＝±√（６）／３　とか、
　　　　　　　　　　　　ｙ＝０のときは、ｘ＝５／３±√（３）　とか、
　　　　　　　　　　　　ｙ＝±√（６）のときは、ｘ＝８／３，２／３　とか
は直ぐに求まります。ですから、楕円の４頂点など計８つの点が取れて、
何となく「つぶれた円」のような図形になるのかな？くらいは求められる訳ですよね。

・・・それにしても、そんな作図を最後にやらせるのは、
出題範囲が「数学ＩＩＩ，Ｃ」までならば十分にうなずけますが、
「数学Ｉ，Ａ，ＩＩ，Ｂ」の範囲でというのであれば、確かに
蛇足的な感が強い気がしますよね。

いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

Q(0, cos θ, 3+sin θ) とおいて R を求める, じゃダメ?
反則技は思いつくけど....

補足

ご回答をありがとうございます。
求める方程式は、例えば、
直線ＰＱのベクトル方程式を求めて、点Ｑの条件式やｘｙ平面の条件ｚ＝０を利用して、
３（ｘ－５／３）＾２ ＋ ｙ＾２ ＝ ９ ，ｚ ＝ ０
までは、数学Ｉ，Ａ，ＩＩ，Ｂの範囲で求まると思いますが、
その後、これが楕円の方程式であることを見抜き、この式を「楕円の方程式の標準形」
（ｘ－５／３）＾２／（１／３）＾２ ＋ ｙ＾２／（√（３）／３）＾２ ＝ １
に変形して、ｘｙ平面上にその中心や長軸、短軸を取って、図形の概形を描くというのが赤本の「模範解答」で、
これでは数学Ｃの中の「式と曲線」の内容を使っていることになるのではないでしょうか？ということなのです。

これが、今回質問する理由なのですが、いかがでしょうか？