物理の問題

質問

物理の問題を解いていたのですが、どうしても引っかかってしまった問題があります。

傾斜角が 25 度のピンボール台がある。玉の質量を 0.3 kg 、玉を発射するためのばねのばね定数を 150 N/m 、玉がばねから離れる位置を y = 0 、重力加速度を 9.80 m/s 2 として有効数字２桁で以下の問いに答えよ。

(１) ばねを 4 cm 縮めて玉を発射した。 y = 0 における玉の速度を計算せよ。

この問題なのですが、傾斜角のついた問題はやったことがなく解けずにつまずいてしまいました。どうか皆さんのお知恵をお貸しいただけないでしょうが？よろしくお願いします。

回答No.3

carvelo · ベストアンサー

＞てっきり＝Asinωt＋Bcosωtを使うのかと思っていたのですが、この式だと重力加速度を使用しません。ということは間違いということなのでしょうか？

完全に間違いとは言えません。この式を用いる場合には、どこに原点を取るかが問題です。ちなみにこの式は円運動の式ではなく、円運動の正射影の式です。単振動は円運動の正射影になってますから、単振動の式もこの形であってます（というか、単振動の式がこの形に表されるから、単振動は円運動の正射影だ、と言えるわけです）。

では、どのようにしたら＝Asinωt＋Bcosωtの式が使えるのかについてですが、微積分の知識があるなら比較的簡単に理解できます。
まず、ばねが自然長の時のばね先端の位置を原点、として斜面上向きにx軸をとって運動方程式を立ててみると、加速度が位置の二階微分であることに注意して（摩擦についての記述がありませんが、斜面は滑らかな面と仮定して話をします）
m(d^2x/dt^2)=-mgsinθ-kx
ですから、
d^2x/dt^2=-(m/k)(x+mgsinθ/k)
となります。x=-mgsinθ/kが力の釣り合いの位置であることはいいでしょうか？ え？って思ったら、力の釣り合いの式を立てて確認してください。
ここでX=x+mgsinθ/kと置いてやるとこの式は
d^2X/dt^2=-(m/k)X
です。この微分方程式の一般解（つまり、この式を満たすようなXの表式)は、ω＝√(k/m)として
X=Asinωt+Bcosωt
となります。つまり、この式は「力の釣り合いの位置を原点に取った場合の単振動の式」だった訳です。
この解については、微分方程式を習っていない段階では、代入したら確かに満たしてるな、くらいの理解で良いでしょう。
さて、いま、X=x+mgsinθ/kだったわけですから、自然長の位置を原点に戻してやると
x=Asinωt+Bcosωt-mgsinθ/k
となって、ちゃんと重力加速度の項も出てきます。

で、この式を使えば解けるはずですが、この式を使うのはこの場合は得策ではありません。やはり、エネルギーの保存を用いるのが簡明でしょう。

回答No.5

carvelo

またまたNo.3です・・・

ほんとごめんなさい

＞d^2x/dt^2=-(k/m)(k+mgsinθ/k)

修正前は正しかったところが間違ってる(;_;)　なぜだ…＞＜

d^2x/dt^2=-(k/m)(x+mgsinθ/k)

です

回答No.4

carvelo

No.3です。ちょっと訂正をm(__)m

＞d^2x/dt^2=-(m/k)(x+mgsinθ/k)

なんか右辺が変なことになってますね（笑）
正しくは
d^2x/dt^2=-(k/m)(k+mgsinθ/k)
ですm(__)m

回答No.2

sanori

＞＞＞てっきりⅹ＝Asinωt＋Bcosωtを使うのかと思っていたのですが、この式だと重力加速度を使用しません。

それは円運動の式です。

＞＞＞ということは間違いということなのでしょうか？

そうです。間違いです。

＞＞＞どの公式を使用すればいいのかわかりません・・・・どうかもう少しご教授いただけないでしょうか。

円運動の式をご存知だということは、それなりに物理を学んでいらっしゃるということなのでしょうね。
しかし、もっと昔にさかのぼってください。
ばねを４ｃｍ縮めたときの、ばねのエネルギーの増加。
４ｃｍ降りたときの、位置エネルギーの減少。
そして、何かが保存されるわけです。
保存されるということは、差し引きの分、××エネルギーが発生するわけです。

回答No.1

sanori

こんばんは。

＞＞＞傾斜角のついた問題はやったことがなく解けずにつまずいてしまいました。

というところだけお答えできます。

ピンボール台を垂直に立てます。
そして、重力加速度を　９．８×sin２５　にするだけです。
これで、つまづきが解消されると思います。

ご参考に。

補足

回答ありがとうございます。
てっきりⅹ＝Asinωt＋Bcosωtを使うのかと思っていたのですが、この式だと重力加速度を使用しません。ということは間違いということなのでしょうか？どの公式を使用すればいいのかわかりません・・・・どうかもう少しご教授いただけないでしょうか。