行列の固有ベクトルと自由度

質問

固有ベクトルの問題でパラメータの数を決定するとき

たとえば（λＩ３－Ａ）x＝０からxを求めて

　　　１　１　１
　　　０　０　０
　　　０　０　０　　となったとします

この行列の自由度が２となるのはなぜですか？

回答No.1

e_o_m · ベストアンサー

質問内容が不確かでよく読み取れませんが、察するに

det(λI3－A)=0　の固有方程式を解いたところ
(λ-α)(λ-β)^2=0　と2つの解しか得られなかった。このλ=βのとき元の式　(λI3-A)x=0　に代入してxを求めようとしたところ
([1,1,1],[0,0,0],[0,0,0])x=0
となったということで宜しいですよね？

x=(u,v,w)　とすればこの連立方程式は
u+v+w=0
となることから解xは
x=u(1,0,0)+v(0,1,0)+w(0,0,1)=u(1,0,0)+v(0,1,0)+(-u-v)(0,0,1)
=u(1.0.-1)+v(0,1,-1)
と二つのベクトルを基底とした線形結合で表されるので、自由度は2つ（パラメータとなるu,vが２つだけ）ということです。

的を射ているか分かりませんが、参考になりましたら幸いです。

お礼

この解説で少しわかった気がします。ありがとうございました。
重根なので基底が２つ以下であるというのはわかったのですが、
連立方程式からパラメータが２つになるというところが上記の
ように変形されるところがわかりませんでした。おかげさまで
すっきりしました。他の問題でも考えてみます。

回答No.2

arrysthmia

Ａの固有値のひとつをλとして、
λＩ3－Ａ が
　　１１１
　　０００
　　０００
になった…ということですね？
Ｉ3は、３×３の単位行列ですね？

Ａの特性方程式を解いたとき、
λが重根だったのでしょう。

固有値λに対応する固有ベクトルは、
もとのベクトル空間(この場合、R^3)の部分空間を成し、
λの「固有空間」と言います。
固有空間の次元は、λの重複度以下であることが
知られています。

詳しくは、
「固有空間」「一般固有空間」など、検索してみてください。

御質問のＡの場合、その固有値が、２重根または３重根
だったのだと思われます。どちらであったかまでは、
わかりませんが。