分数式について教えてください

質問

(a+b)^2 / (a-b) ÷ (b+a) / (b-a)^2
=(a+b)^2 (b-a)^2 / (a-b) (a+b)
=-(a+b) (a-b)^2 / (a-b)
=-(a+b) (a-b)

として解いたのですが、答えは (a+b) (a-b) でした。
どこで間違えたのか探してみると、二行目の

=(a+b)^2 (b-a)^2 / (a-b) (a+b)

が違っていたようです。

自分は、(b+a) / (b-a)^2 を逆数にして、(b-a)^2 / (a+b) を弾き出して計算したのですが、解答では

(a+b)^2 / (a-b) ÷ (b+a) / (b-a)^2
=(a+b)^2 (a-b)^2 / (a-b) (a+b)

になっていました。

割り算で、分子と分母を入れ替えれば
(b+a) / (b-a)^2
=(b-a)^2 / a + b
になると思ったのですがどこが間違っているのでしょう。

回答No.6

sanori

こんばんは。

２行目は合ってますね。

２行目から
与式　＝　（ａ＋ｂ）^2・（ｂ－ａ）^2　／｛　（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）　｝

ここで、
（ｂ－ａ）　＝　－（ａ－ｂ）
より
（ｂ－ａ）^2　＝　（ａ－ｂ）^2
なので、

与式　＝　（ａ＋ｂ）^2・（ａ－ｂ）^2　／｛　（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）　｝

（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）　で約分

与式　＝　（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）

もう一つのやり方は、

２行目から
与式　＝　（ａ＋ｂ）^2・（ｂ－ａ）^2　／｛　（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）　｝

ここで、
（ａ－ｂ）　＝　－（ｂ－ａ）
なので、

与式　＝　（ａ＋ｂ）^2・（ｂ－ａ）^2　／｛　－（ｂ－ａ）（ａ＋ｂ）　｝

（ａ＋ｂ）（ｂ－ａ）で約分して、

与式　＝　（ａ＋ｂ）・（ｂ－ａ）　／｛　－１　｝
　＝　－（ａ＋ｂ）（ｂ－ａ）

以上、ご参考になりましたら。

回答No.5

i7010_man

訂正です。
　引用を間違えました。
>(b-a)^2 を (a+b)^2 に変えないと正しい答えが出ないのですか？
ではなく、
(b-a)^2を(a-b)^2に変えないと…ですね。失礼しました。

回答No.4

i7010_man

>(b-a)^2 を (a+b)^2 に変えないと正しい答えが出ないのですか？

変えなくても出ますよ。約分する方が計算が楽なので、解答ではそのように書いてあります。
　(a+b)^2 / (a-b) ÷ (b+a) / (b-a)^2
=(a+b)^2 (b-a)^2 / (a-b) (a+b)
　分子→　(a+b)^2 (b-a)^2
　　　　=｛(a+b)(b-a)｝^2
　　　　=（a^2-b^2）^2
　分母→　(a-b) (a+b)
　　　　=　a^2-b^2
　　a^2-b^2が約分できるので、
　残るのは分子の　a^2-b^2　
　　　　　　　　=(a-b) (a+b)
　　　　です。質問者さんが間違えたのは、
（2乗すればマイナスはプラスになる）を忘れていた点だけです。

お礼

約分が楽なほうを載せているのですね。
二通りの方法で解けるということがわかってスッキリしました。

ご回答ありがとうございました。

回答No.3

noname#74443

(b-a)2=(a-b)2　です。
計算してみましょう。
(b-a)2-(a-b)2
=b2-2ab+a2 - (a2-2ab+b2)= 0

ですから、
(a+b)^2 / (a-b) ÷ (b+a) / (b-a)^2
=((a+b)^2)((a-b)^2) / (a+b)(a-b)
=(a+b)(a-b)
でよいのです。

お礼

(b-a)2=(a-b)2　になるのを忘れていたんですね。
負の数を二乗すると正の数、だなんて当たり前のように思っていましたが、ちょっと形が変わるだけで混乱してしまうとは……。

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

noname#77845

質問者さんは、2行目から3行目に移るとき
(b-a)^2=-(a-b)^2
にしているけど、
　(b-a)^2
=b^2-2ba+a^2
=a^2-2ab+b^2
=(a-b)^2
ですよ？
もっと言うと、
　(b-a)^2
=(-(a-b))(-(a-b))
=(a-b)^2
ここで、マイナスが一個足りませんね。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
ですが、また新しく疑問が生まれてしまったようで……。

何故 (b-a)^2 を (a+b)^2 に変えないと正しい答えが出ないのですか？
それとも (b-a)^2 のままで計算を進めても正しい答えは出るのでしょうか。(問題の解答には答えがひとつしか載っていないので)

回答No.1

zenigataf

マイナスをくくり出しているのが誤っています。

二乗したら必ず正になるので、マイナスでくくることはできません

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
どうやら二乗のことを忘れていたみたいです。
zenigatafさんに言われるまで気づきませんでした……。