尖度の定義式

質問

尖度（Kurtosis）の定義式は，

kurt(x) = E[x^4] - 3*E[x^2]^2

と

kurt(x) = E[x^4]/E[x^2]^2 - 3

の二通りありますが，両者の違いは何でしょうか？
実際に計算した結果，かなり値が異なるので，
よくわからなくなってしまいました．

宜しくお願いします．

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

(1)　　kurt(x) = E[x^4] - 3*E[x^2]^2
(2)　　kurt(x) = E[x^4]/E[x^2]^2 - 3

E は平均値(あるいは期待値)の意味ですよね．
違いは(1)を E[x^2]^2 で割ったものが(2)になっているということですね．
私が思うに，(2)の方が合理的な気がします．
(1)は x^4 の次元を持った量ですし，(2)は無次元の量です．
つまり，(1)では全部の x を２倍にすれば kurt(x) は 2^4 = 16 倍になりますが，
(2)では不変です．
もともと尖度は分布の集中具合を表す尺度ですから，
全部の x を２倍にしても集中具合は同じでしょう．
(2)は E[x^2]^2 で割ることで，その違いを吸収して
一種の「規格化」をしたことになっています．

例えば，試験を１０点満点で採点するのと１００点満点で採点するのとでは，
(2)の定義では尖度は同じですが，
(1)の定義なら１００点満点の方が 10^4 倍大きくなってしまいます．
別に点数の分布に本質的違いがあるわけではないので，
(2)の方が合理的と思います．

なお，(1)で 3*E[x^2]^2 を引いている(同じことですが，(2)で３を引いている)のは
正規分布を基準にしようという考えからです．
正規分布の場合は
(3)　　E[x^4] = 3*E[x^2]^2
ですから，ちょうど尖度がゼロになります．

お礼

大変わかり易いご説明ありがとうございます．
「試験を10点満点で評価するのと100点満点で評価
する場合でも，点数の分布に本質的な違いはない．」
なるほど，そのとおりですね．
これでスッキリとしました．