接する2円間の距離について

質問

添付図のように半径の違う2つの円が270度の位置で接しています。
大きな円の任意の角度での2円間の距離（矢印部分）を求める方法がわかりません。どなたかわかる方回答をお願いいたします。

回答No.7

info22

#2,5,6です。

A#6のグラフがR=1,r=0.75固定の場合でしたが、
0<r<R　のrをパラメータにして
角度αの変化（-π～π）に対するx=PQの長さの変化と、xの最大値（2R-2r)をプロットした図を下記に画像添付しておきます。

回答No.6

info22

#2,#5です。
A#5に添付した図の原図は縦横比が1対1のものですが、サイトでは縦方向が圧縮されてしまいますので、円が真円であるよう縦方向に伸ばしてみてください。
A#5のx=f(α)で書けないので（B)の条件で(A)の陰関数表現のままでプロットした結果のグラフx=f(α)またはg(x,α)=0の図を添付せせていただきます。
(フリーソフトGRAPES使用して図作成）

回答No.5

info22

#２です。
角度θの取り方が図の対称性とマッチしないため場合分けが複雑のなります。
角度θの代わりに、添付図のようにαを０～±πと対称性を反映するようにとれば求める距離PQ＝xの角度αの偶関数になって都合いいかと思います。αとθの関係は
θ＝270°ーα「度分法」またはθ＝3π/2-α[rad]
です。
肝心のαと距離PQ=x の関係が、添付図で△OCQと夾角αに余弦第2定理
CQ^2＝OC^2+OQ^2-2OC*OQcosαを適用して
2(R-r)(R-x)cosα=(R-r)^2+(R-x)^2-r^2…(A)
この式には
0<r<R, 0≦x≦2(R-r),-π≦α≦π…(B)
という条件がつきます。
しかし、条件をαで場合分けして
(A)の式を解いて
x=f(α)の式に直すことは困難ですので、（A)に(B)の条件をつけて
陰関数表示で結果を表した方が式が単純にあらわせすっきりします。
陰関数プロットや数値計算で、1つのαに対して、１つのxを
一意的に求めることができることは確認済みです。
別の回答でその一意性（一価関数であること）示すグラフを示したいと思います。

回答No.4

pascal3141

大円の中心を座標原点Ｏとして、大円上の点Ｐの座標は、（Rcosθ/2,Rsinθ/2)となります。ＯＰと小円との交点をＱとすると、Ｑの座標は、中心間の距離をdとして、(rsin(θ＋π/2)/2,-rcos(θ+π/2)/2-d)＝(rcosθ/2,rsinθ2-d)となります。直し、d＝R/2-r/2。ここからＰＱ^2を作って計算すると、ＰＱ^2＝(R/2-r/2)^2(2+2sinθ),よって、ＰＱ＝(R-r)/2√（2(1+sinθ))。確かめてください。

補足

ご回答ありがとうございます。Ｑの座標は、中心間の距離をdとして、(rsin(θ＋π/2)/2,-rcos(θ+π/2)/2-d)＝(rcosθ/2,rsinθ2-d)となります。との内容ですが、この内容が正しいのかわかりません。QのX座標がrcosθ/2となるとのご意見ですが、これでは小円のθを取る位置がY方向にずれてもQのX座標は変わらないということにはなりませんでしょうか？

回答No.3

c_850871

丸ごと回答は禁止事項なので，方針だけにさせていただきます.
大小の円の中心をO1,O2
図に引かれた半径と円の交点を外側から順にP1,P2
とすると
三角形O1O2P2で余弦定理を使用するとO1P2が出ますね.
あとはO1P1-O1P2で求まりますね.

これをR,r,θを用いた式で表現すればよいわけです.

この作業を
0≦θ≦π/2
π/2≦θ≦π
π≦θ≦3π/2
3π/2≦θ≦2π
で行えば終了です.

補足

ご回答ありがとうございます。まず余弦定理とは2つの辺の長さと1つの内角の大きさが分かっていれば、もう1つの辺の長さが決まる。もしくは3つの辺の長さが分かっていれば内角の大きさが決まるというのが私の認識です。三角形O1O2P2で余弦定理を使用するとO1P2が出るとのご指摘ですが、私には(1)大円と小円の中心間の長さ。(2)角P20102。の2つの条件しか見つけられませんでした。。お手数ですが、もう少しヒントをいただけませんでしょうか。

回答No.2

info22

大小の円の半径を与えてください。

補足

ご質問ありがとうございます。説明不足ですみません。大円の直径R、小円の直径rでお願いいたします。普通半径で指示しますね。。先の回答にて直径で書いてしまいましたのでこれでよろしくお願いいたします。

回答No.1

c_850871

使っても良い記号はθだけですか?

補足

ご質問ありがとうございます。説明不足ですみません。使用してよい記号は大円の直径R、小円の直径r、図中θでお願いいたします。