関数を使った式の変換がわかりません。

質問

スクロースの加水分解反応（スクロース→グルコース＋フルクトース）において、1モルの基質(スクロース)から1モルの生成物(グルコース)ができるとき、初期の基質の濃度をＳ0(mol/l)、初期の生成物の濃度をＰ0(mol/l)、反応時間ｔ(h)における基質濃度をＳ(mol/l)、生成物濃度をＰ(mol/l)とする。そのとき、反応速度定数をｋ(h＾-1）、反応時間をｔ(h)、反応速度をｒ(mol/l/h)としたときの１次反応は、ｒ＝－ｄＳ／ｄｔ＝ｋＳからｌｎ（Ｓ0/Ｓ）＝ｋｔに変形出来るという。この式の変形の仕方が全くわからないので、よろしくお願いします。

回答No.5

sanori · ベストアンサー

Ｎｏ．３の回答者です。
お礼のお言葉をありがとうございました。

まず、恥ずかしながら訂正から。

【訂正前】
なお、
ｄｘ／ｄｔ　＝　－ｋｔ　　（←右辺が間違っている）
の形の（簡単な）微分方程式は、化学だけでなく色んなところで登場する、基本的かつ重要なものです。
　↓
【訂正後】
なお、
ｄｘ／ｄｔ　＝　－ｋｘ
の形の（簡単な）微分方程式は、化学だけでなく色んなところで登場する、基本的かつ重要なものです。

＞＞＞因みに０次反応の時、一定値a(mol/l/h)を取り、ｒ＝－ｄＳ／ｄｔ＝ａを変形するとＳ(0)－Ｓ＝ａtとなることは解ったのですが、これがミカエリス・メンテンの式が成り立つとｒ＝－ｄＳ／ｄｔ＝ＶmＳ／（Ｋm＋Ｓ）がＳ(0)－Ｓ＋Ｋmｌｎ(Ｓ(0)／Ｓ）＝Ｖmｔに変形できる仮定が解らないので、回答の方出来れば宜しくお願いします。

－ｄＳ／ｄｔ＝ＶmＳ／（Ｋm＋Ｓ）

左辺にＳ関係を、右辺にｔ関係を寄せれば、
（Ｋm＋Ｓ）／Ｓ・ｄＳ　＝　－Ｖm・ｄｔ

左辺を展開
Ｋm／Ｓ・ｄＳ　＋　１・ｄＳ　＝　－Ｖm・ｄｔ

たぶん、ここまで来ると、前回回答の内容と照らし合わせれば解けると思いますが、
一応、つづきも書いておきますね。

積分する。（両辺に∫をつける。）
Ｋm・∫１／Ｓ・ｄＳ　＋　∫１・ｄＳ　＝　－Ｖm・∫ｄｔ
Ｋm・lnＳ　＋　Ｓ　＝　－Ｖm・ｔ　＋　積分定数

やはり、ｔ＝０　のとき　Ｓ＝Ｓ(0)　という条件なのですよね？
それを代入すれば、
Ｋm・lnＳ(0)　＋　Ｓ(0)　＝　－Ｖm・０　＋　積分定数
よって、
積分定数　＝　Ｋm・lnＳ(0)　＋　Ｓ(0)

よって、
Ｋm・lnＳ　＋　Ｓ　＝　－Ｖm・ｔ　＋　Ｋm・lnＳ(0)　＋　Ｓ(0)

あとは、整理するのみです。
Ｋm（lnＳ　－　lnＳ(0)　＋　Ｓ　－　Ｓ(0)　＝　－Ｖm・ｔ
Ｋm・ln（Ｓ／Ｓ(0)）　＋　Ｓ　－　Ｓ(0)　＝　－Ｖm・ｔ
両辺に　－１　をかければ完成です。

では！

お礼

返答遅れてすいません。とても解りやすい説明でした。ありがとうございました。

回答No.4

owata-www

ミカエリスメンテンはこれを見れば分かるかと↓

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F%E3%82%AB%E3%82%A8%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%86%E3%83%B3%E5%BC%8F

回答No.3

sanori

こんばんは。

－ｄＳ／ｄｔ　＝　ｋＳ
を変形すると
ｄＳ／Ｓ　＝　－ｋｄｔ
となります。

１／Ｓ・ｄＳ　＝　－ｋｄｔ
と書いたほうがわかりやすいですか。

両辺を積分します。
∫１／Ｓ・ｄＳ　＝　∫－ｋ・ｄｔ

右辺は超簡単です。
定数　－ｋ　をｔで積分するのですから、
∫－１・ｄｔ　＝　－ｋｔ　＋　積分定数
です。

左辺は、高校で習う、１／ｘ　の積分です。
∫１／Ｓ・ｄＳ　＝　logＳ　＋　積分定数その２

というわけで、
∫１／Ｓ・ｄＳ　＝　∫－ｋ・ｄｔ
から
logＳ　＝　－ｋｔ　＋　積分定数その３
が導かれました。

ｔ＝０　のとき、Ｓ＝Ｓ0　というのが前提ですから、
logＳ0　＝　－ｋ・０　＋　積分定数その３
よって、
積分定数その３　＝　logＳ0
ですから、
logＳ　＝　－ｔ　＋　logＳ0
となります。
これでも、すでに終わりと言って良さそうですが、
もうちょっと計算を進めます。
logＳ　＝　－ｋｔ　＋　logＳ0
logＳ0　－　logＳ　＝　ｋｔ
log（Ｓ0／Ｓ）　＝　ｋｔ
完成です。

なお、
ｄｘ／ｄｔ　＝　－ｋｔ
の形の（簡単な）微分方程式は、化学だけでなく色んなところで登場する、基本的かつ重要なものです。
ぜひ覚えておいてください。

ちなみに、私がその形の式に最初に出会ったのは、このケースでです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E6%B8%9B%E6%9C%9F

若干不透明なガラスの中を通過する光の減衰も、同じ式で計算できます。

仕事では、たとえば、電子回路の遅延時間を求めるのに使いました。

以上、ご参考になりましたら。

補足

とても解りやすい説明ありがとうございました。
因みに０次反応の時、一定値a(mol/l/h)を取り、ｒ＝－ｄＳ／ｄｔ＝ａを変形するとＳ(0)－Ｓ＝ａtとなることは解ったのですが、これがミカエリス・メンテンの式が成り立つとｒ＝－ｄＳ／ｄｔ＝ＶmＳ／（Ｋm＋Ｓ）がＳ(0)－Ｓ＋Ｋmｌｎ(Ｓ(0)／Ｓ）＝Ｖmｔに変形できる仮定が解らないので、回答の方出来れば宜しくお願いします。

回答No.2

handarin

化学のことはさっぱり分かりませんが、
Sはtの関数（つまりS=S(t)）であり、
S(0)=S0,－ｄＳ／ｄｔ＝ｋＳ・・・(*)
からｌｎ（Ｓ0/Ｓ）＝ｋｔ
を導けってことですね？
(*)をSで割って、両辺に∫[0,t]dtをほどこします。
すると
∫[0,t]-(1/S(t))(dS/dt)dt=∫[0,t]kdt
右辺はそのままktとなり、左辺を置換積分と思えば
t:0→tのときS:S0→Sなので（記号が重複してて見づらいですが…）
左辺＝∫[S0,S]-(1/S)ds＝-(ln(S)-ln(S0))＝ln(S0/S)

回答No.1

owata-www

まず、－ｄＳ／ｄｔ＝ｋＳより－（１／Ｓ）ｄｓ／ｄｔ＝ｋです。
この両辺をdtで積分すると
∫－（１／Ｓ）ｄｓ／ｄｔ　ｄｔ＝－logＳ＋Ｃ１　∫k　ｄｔ＝ｋｔ＋Ｃ２になります。

よって、-logS +Ｃ=kt　あとは、初期条件を考えれば変形できるかと