lim[x→∞]((α^(1/x)-1)β+1)^x = α^β

質問

lim[x→∞]((α^(1/x)-1)β+1)^x = α^β

らしいのですが、どうしてなのですか？
ロピタルの定理を使おうとしたのですが、指数が２重にあってよくわかりません。

また、x→-∞やx→0としたら極限はどうなるのでしょうか？

回答No.4

c_850871

まさかとは思いますが，式はお間違えでないですか?

これでは極限∞になってしまいますが.

回答No.3

c_850871

大変失礼しました．
#2は無視してください．
ちょっと考えます．

回答No.2

c_850871

全部解答するわけには行きませんので，
x→∞であれば，
そしてロピタルの定理を用いてもよいのであれば
Tacosanさんの式より
xlog{[α^(1/x)-1]β+1}=log{[α^(1/x)-1]β+1}/(1/x)
とすれば使えますね．
x→0は私もまだ考え中です．

回答No.1

Tacosan

対数をとって
x log {[α^(1/x)-1]β + 1} = x[α^(1/x)-1]β
として, [...] をもう 1回展開したらどうだろう. そこから log α が出てくればいいような気がする.