イジング模型の温度依存

質問

イジング模型で、イジングスピンがとるエネルギーを±μBとすると磁気モーメントの期待値<μ>は
<μ>=Nμth(μB/kT)
となります。
この<μ>とμB/kTでグラフを書くと、tanhの＿｜￣　こういうグラフになりますよね？(わかりづらくてすみません)
ここで高温極限T→+∞(μB/kT→0)では<μ>=0、低温極限T→0(μB/kT→∞)では<μ>=+Nμとなりますが、<μ>=-Nμとなるのはどういうどういう極限を考えればなるのでしょうか？
また、<μ>=+Nμというのは全てのスピンが上向きということなんでしょうか？

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．
遅くなりました

> ですがスピンが1個のとき、つまり<μ>=0のときというのはどういう状態なんでしょうか？
>
> 同じく、N個の場合に平均値が0 < <M> < ±Nμの範囲にあるのは
> スピンが各々上下バラバラな方向を向いているが平均すると
> 0 < <M> < ±Nμのある値というのはわかりますが、
> <μ>が0や±μでない値をとるときというのはどういう状態なんでしょうか？

もともと統計力学の話ですから，スピンは多数個あるのが前提です．
<μ> はスピンが１個あるときの平均値ではなくて
同等のスピンが多数個あるときの１個当たりの平均値と解釈するべきでしょう．

統計力学では，ハミルトニアンで指定された相互作用などの他に，
スピン同士あるいは外界(熱浴)とのエネルギーの交換を可能にする
弱い相互作用(素粒子論の弱い相互作用という意味ではない)が
仮定されています．
今の場合に即して言えば，次のようなことです．
今の問題では，相互作用がなくてスピンは独立ですから，
１個のスピンに注目すればいつまで経っても最初の状態のままです．
また，最初の状態が (N/2)+c 個が上向き，(N/2)-c 個が下向きとすると
(N は偶数とした)
その個数の配分もそのままです．
いろいろな状態が実現可能で，
エネルギー E の状態の実現確率がボルツマン因子
exp(-E/kT) に比例するというのが統計力学のエッセンスですが，
上のような状態だといろいろな状態が実現可能にはなりません．
違うエネルギーの状態に移るにはハミルトニアン(その固有値が E)に
含まれない(あらわに書かれない)相互作用が必要です．
こういう相互作用によって，
独立スピンという今の話で１個のスピンに注目して時間を追っていくと
そのスピンは方向が決まらず，時々反転したりします．
どちらを向いている場合がどのくらい多いかで <μ> が決まります．

いろいろ突っ込むと結構難しい問題もありまして，
エルゴード理論などがその一例です．

回答No.1

siegmund

まず，
<μ>=Nμth(μB/kT)
はよろしくありません．
μは１個のスピンの磁気モーメントですから，
N (スピンの個数ですよね)をつけてはいけません．
全体の磁気モーメントというつもりなら，違う記号で
<M>=Nμth(μB/kT)
とでもするべきです．
そうしないと，全部のスピンが上を向いたとき
<μ>=μ でなくて <μ>=Nμ になってしまいます．

> <μ>=-Nμとなるのはどういうどういう極限を考えればなるのでしょうか？

<M>=-Nμ と修正して，B<0 で T→0 です．
B が +z 方向を向いているとして，
B<0 なら μ が下向きがエネルギーが低い状態ですから，
T→0 では全部のスピンが下向きということになります．

> また、<μ>=+Nμというのは全てのスピンが上向きということなんでしょうか？
<M>=+Nμと修正して，そのとおりです．

最後に用語について．
質問にあるのは，単に独立スピンが磁場中にある話で，
これをイジング模型とは普通は言いません．
スピンの間に相互作用がある場合に，その相互作用のタイプによって
イジング模型とか，ハイゼンベルク模型とか，そういう言い方になります．

お礼

お返事が遅くなってすみません。
非常にわかりやすく、目から鱗です！ありがとうございます。
今度からはできるだけ厳密に書くように気をつけます。

それと、スピンがN個の場合に<M>=0となるのは、色々なスピンが上や下をバラバラに向いていて平均すると全体の磁気モーメントが0というのはなんとなく想像できます。
ですがスピンが1個のとき、つまり<μ>=0のときというのはどういう状態なんでしょうか？

同じく、N個の場合に平均値が0 < <M> < ±Nμの範囲にあるのはスピンが各々上下バラバラな方向を向いているが平均すると0 < <M> < ±Nμのある値というのはわかりますが、<μ>が0や±μでない値をとるときというのはどういう状態なんでしょうか？

私の平均値や期待値の理解が不十分なのだと思いますが、よろしければ教えてください。