２次関数

質問

x,y,z>0、x＋y+z=1のときu=-xlogx-ylogx-zlogzの最大値を求める問題なのですが、どのように解いたらいいでしょうか？ヒントだけでも構いません。
なお、0log0=0としていいようです。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

z=1-x-y(>0)をuの式に代入して
u=f(x,y)=-x*log(x)-y*log(y)-(1-x-y)*log(1-x-y)
fx(x,y)=-log(x)-1+log(1-x-y)+1=log{(1-x-y)/x}
fy(x,y)=-log(y)-1+log(1-x-y)+1=-log{(1-x-y)/y}
x>0,y>0,z>0,x+y+z=1
では
1-x>0,1-y>0,1-x-y>0である事を考慮すれば
A=fxx(x,y)=-(1-y)/{x(1-x-y)}<0
B=fxy(x,y)=-1/(1-x-y)<0
C=fyy(x,y)=-(1-x)/{y(1-x-y)}<0
判別式D=B^2-AC=-1/{x(1-x-y)}<0
で、かつ
fx(x,y)=fy(x,y)=0となる(x,y)を求めると
(x,y)=(1/3,1/3)のみ
この時z=1-x-y=1/3
なので、この時、uは極大値（つまり最大値）
u=-3(1/3)log(1/3)=log(3)
を取ることが分かる。

２変数関数の極大、極小についての詳細な解説は
参考URLをご覧下さい。

[注意とポイント]uがx,y,zの対称な関数なのでx=y=zの所で極大（最大）、極小（最小）となることが予想されます。
つまり、x+y+z=1からx=y=z=1/3で、最大または最小、極大または極小が発生します。この時、u=-3(1/3)log(1/3)=log(3)がそのどれかになるということですね。問題が最大値を求める問題である事から、多分最大値だろうことが予想されます。あとは、それを確認する方法を考えればいいですね。

参考URL：

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/101ksk.html

お礼

丁寧な回答ありがとうございました！

回答No.1

su_pu_shan

u=-xlogx-ylogx-zlogz　ですか？　それとも
u=-xlogx-ylogy-zlogz ?

補足

すいません・・・-xlogx-ylogy-zlogzです。