外積の成分の求め方

質問

外積a×bの成分を求めるときに、図を用いて考える場合についてなのですが。
　点A,Bがありそれぞれの位置ベクトルをa=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)とし、点A,Bをxy平面に投影したときの点をA',B'とすれば、点A',B'への位置ベクトルはa'=(ax,ay,0),b'=(bx,by,0)となりますよね？a×bとz軸とのなす角をγ（ガンマ）とすれば、
|a×b|cosγ=2△OABcosγ=2△OA'B'
となるそうなのですが、理解できません。教えてください。

回答No.3

noocyte · ベストアンサー

> 2△OABcosγ=2△OA'B'が理解できません。

・△ＯＡＢを含む平面 (Ｐとする) の法線方向はａ×ｂ．
・ｘｙ平面の法線方向はz軸．
・ａ×ｂとｚ軸のなす角はγ．

→ したがってＰとｘｙ平面のなす角はγ．
→ Ｐ上の図形をｘｙ平面に投影すると，面積は cosγ 倍になる．
→ △ＯＡＢ cosγ ＝ △ＯＡ'Ｂ'

でどうでしょうか？

お礼

tekcycle、noocyteさんどうもありがとうございます。
Ｐとxy平面のなす角はγということは理解できたように思います。でも、そのγというのは具体的にはどこの角度なのかが良く分かりません。△OABとxy平面は1点しか共有していないのにγという角度はどこの角度と取ればよいのでしょうか。△OABを含む平面とxy平面のなす角度でしょうか？

回答No.2

tekcycle

実は私もそこは直感的にしか考えていないところでした。

で、その話は、ｘｙ平面に投影したということで、ｘ軸ｙ軸を引いて考える必要はまずは無いのだと思います。
ｘｙ平面という平面があり、ｘ軸ｙ軸はどこにあるか判らない、そこに垂直にＯからｚ軸が出ているというモデルを考えてみます。
紙の上に鉛筆を垂直に立ててみたような感じです。
そこに、点Ｏを頂点とする△ＯＡＢを適当に斜めに置いてみます。
この図を描いてみましょう。

ｚ軸を含み、ａ×ｂが奥行き成分を持たないような角度から描いてみると良いでしょう。ｚ軸を中心にして視点を回していくと、どこかで奥行き成分が０にできるところがあるってのがポイントでしょうか。ｚ軸とａ×ｂの角度γを観察できるのは、直感的にはそこであるはずです。
その角度から、例えて言うならｘｚ平面図みたいな感じの図を描くのです。
ただ、それはあくまで眺めた方向であって、ｘ軸ｙ軸はそれとは別にどこかにある感じです。
そのときに、△ＯＡＢがどういう状態になっているか考えてみてください。
ａ×ｂと垂直であることから、おそらくは描いた方向から奥行き方向が任意(左右方向やｚの関数ではない)、という平面上にあるのではないかと思いますが如何でしょう。
ｘｙ平面への投影図は、それとcosγの関係ですね。

あとは底辺×高さ÷2を考えると良いのではないでしょうか。
点Ａから奥行き方向の直線を引いて、それとＯＢとの交点の所までの線分を底辺とし、そこからＯまで距離を高さとする三角形、とＢまでの距離を高さとする三角形ができますので、その面積と投影図の面積を考えれば良いでしょう。ＡとＢは逆でも良いです。都合の良い方を。

って文章で判るかな。
それと、数学的厳密さはありませんのでお気をつけ下さい。

回答No.1

tekcycle

△ＯＡＢや△ＯＡ'Ｂ'と、Ｏからａ×ｂ伸ばした先の点をＣとする、
という図を書いてみてください。
ａ×ｂの大きさ｜ａ×ｂ｜は、ａとｂで作られる菱形の面積であるということは解るでしょうか？(つまり△ＯＡＢの二倍)
つまり、
｜ａ×ｂ｜＝２△ＯＡＢ
ってのは外積の定義(？)からくることなんですが。
ここで△ＯＡＢと△ＯＡ'Ｂ'の角度っていくつでしょう？
△ＯＡ'Ｂ'の面積は△ＯＡＢとコサインとγでどう表せますか？
って話なんでしょう。
外積の定義から、ａ×ｂが△ＯＡＢと直交するというのは良いですよね？
あとは中学の図形の相似みたいな話で、直角三角形関係で合同な角を探せ、みたいなことで。

で、関係ないけどここでＣを考えてみます。
このＣのｚ方向の高さって、ＯＣcosγってのは良いでしょうか。
つまり、＝｜ａ×ｂ｜cosγなんですけど。
２△ＯＡ'Ｂ'ってのはＯＣcosγというｚ軸上の点で表せるんだよって事でしょう。

(数学屋やベクトル屋ではないので、座標を使ったエレガントとは言い難い理解ですが)

お礼

回答どうもありがとうございます。

|a×b|=2△OABは理解できるのですが、2△OABcosγ=2△OA'B'が理解できません。空間だと、角度が良く分からなくなってしまって。