数学 三角方程式

質問

三角方程式ってやつやったんですが
sinx＝-1/2

sinx＞-1/2

tanx＝-1
全部(0≦x＜2π)です

何かこういうの全然分かりません。
図書けって言われたから図は書けますが(単位円とかいうやつです)、図書いた所でなんだって感じですし。
何求めるのよって感じで‥
あと、何でこんな答えになるの？って感じです。

回答No.5

R_Earl · ベストアンサー

> 45度求めるだけは、0° < x < 90°に限定しないと問題解けないんですか？

そんなことはありません。
説明に直角三角形を使いたかったので、0° < x < 90°に限定しただけです。

単位円を使って0°≦ x ≦ 120°の範囲で考えれば、方程式sinx = 1/√2の解は
x = 45°のみ（ラジアンを使うなら、x = π/4）となります
（xの範囲が120°までという問題はあまり出ないですが…）。

0°≦ x < 360°の範囲であれば、方程式sinx = 1/√2の解は
x = 45°, 135°（ラジアンを使うなら、x = π/4, 3π/4）となります。

回答No.4

R_Earl

> 質問してるのはそれで、どうして、図を描いただけで7π/6と11π/6って分かるんですかって事です

そもそも三角比を今までどうやって求めてましたか？
例えば、sin30°をどうやって計算していましたか？
習いたての頃は、
『30°の直角三角形を描いて、斜辺が2、高さが1だから、sin30° = 1/2』
としていませんでしたか？
元々三角比は図を描いて求めるものです。だから、三角方程式も基本的に図を描かないと解けません。

まず、0° < x < 90°に限定し、三角方程式sinx = 1 / √2を解くことを考えます。
sinx = (直角三角形の高さ) / (直角三角形の斜辺)です。
なので逆に、sinx = 1 / √2なら『高さ1、斜辺√2の直角三角形』と考えられませんか？
三角方程式ではこうやって、今までやっていたことの逆を考えるんです。
今までは
「角度を元に直角三角形を描く → 直角三角形の辺の長さからsinを計算」
という手順でした。
三角方程式では、
「sinの値(辺の長さの比)を元に直角三角形を描く → 直角三角形の図から角度を求める」
となります。
高さ1、斜辺√2の直角三角形を描いてみると、x = 45°の直角三角形が描けますよね？
なのでx = 45° = π/4という答えが得られます。

0 ≦ x < 2πでも話はほとんど同じです。
0 < x < 90°では直角三角形を使ってsinの値が計算できましたが、
0 ≦ x < 2πではそれができないので、直角三角形ではなく単位円を使います。
例えば三角方程式sinx = -1/2では、
『sinx = -1/2となる状況を単位円に描き込み、その図を元にxが何になるかを考える』
ということをします。

ちなみに三角方程式を解くにあたって、必ず単位円を描かなくてはならないというわけではありません。
『sinx = -1/2になる状況』を別の方法で表現できるなら、それを使っても良いでしょう。

補足

45度求めるだけは、0° < x < 90°に限定しないと問題解けないんですか？

回答No.3

R_Earl

> 何求めるのよって感じで‥
> あと、何でこんな答えになるの？って感じです。

『方程式』の意味は分かっていますか？
方程式とは、『文字式を含んだ等式』の事です。
例えば「x + 3 = 6」や、「t^2 + 3 = -4t」や、「2x - 3y = 4」等の事です。

本来等式は、「左辺と右辺が同じものですよ」ということを意味します。
イコールの記号も「等しい」という意味です。
例えば「4 + 6 = 10」は、左辺と右辺が同じものですよね。

では「x + 3 = 6」という等式の左辺と右辺は同じものですか？
x = 1を代入してみると、「1 + 3 = 6」となってしまい、左辺と右辺が同じになりません。
文字式を含んだ等式は、文字式の値によっては「左辺と右辺が違うもの」になってしまいます。
こうなると、等式ではなくなってしまいます。

さて、「方程式を解け」や「方程式の解を求めよ」という問題ですが、
これらの問題は「文字式にどんな値を代入すれば、左辺と右辺が等しくなってくれますか？」ということを聞いています。
「方程式x + 3 = 6を解け」という問題だったら、
x = 3の時に左辺が3 + 3 = 6、右辺が6となり、「左辺と右辺が同じもの」になります。
なのでこの問題の答えはx = 3です。
「方程式t^2 + 3 = -4tを解け」という問題だったら、
t = -1の時に左辺が1 + 3 = 4、右辺が-4 × (-1) = 4となり、「左辺と右辺が同じもの」になります。
また、t = -3の時も左辺と右辺が同じになります。よって答えはt = -1, -3です。

三角関数を使った方程式の問題も同様です。
「方程式sinx = -1/2を解きなさい」という問題だったら、
「左辺sinxと、右辺-1/2が同じになるのは、xがどんな値の時ですか？」という意味です。
x = (7/6)πの時、左辺 = sin(7/6)π = -1/2となり、右辺と等しくなります。
またx = (11/6)πの時、左辺 = sin(11/6)π = -1/2となり、右辺と等しくなります。
なのでx = (7/6)π, (11/6)πがこの方程式の解となります。

不等式も似たような感じです。
「sinx > -1/2」だったら、「左辺sinxの方が右辺-1/2より大きくなるのは、xがどんな値の時ですか？」
ということを聞いています。

> 図書けって言われたから図は書けますが(単位円とかいうやつです)、図書いた所でなんだって感じですし。

「方程式sinx = -1/2を解きなさい」という問題であれば、
左辺sinxが-1/2になるようなxを探す必要があります。
そのようなxを探すために単位円を描いています。
なので単位円を描いた後に、「sinの値が-1/2になるのはどこか？」を探してみてください。

補足

「sinの値が-1/2になるのはどこか？」を探してみてください。
＞質問してるのはそれで、どうして、図を描いただけで7π/6と11π/6って分かるんですかって事です

回答No.2

2kaku34

必要になるかも知れないのが勉強です。（元はちゃんと意味があった）
もとの意味が理解が出来るまで、詳しく授業できればいいのですが。
サイン・コサイン・タンジェントを覚える際に
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1418047684
登山に“三角関数”
http://www.joy.hi-ho.ne.jp/h-nebashi/sub3063.htm
複素インピーダンスの計算（三角関数と複素数）
http://okwave.jp/qa1241745.html
因みに、理論物理では、微分と存在確立の二乗なんて訳の分からないことを、
鉛筆とノートだけでがんばって、数式の変形を考えて解くそうです。（アッシには分からん）

回答No.1

noname#101793

ゆとり乙。
分からなければ，ひたすら暗記だ！理解しようなんて思うな！