一晩考えてみたのですが・・・

質問

ある問題を質問されて解けずに困っております。

２式
x^2-(a+b^2)x-3a+a^2=0
x^2+2ax+a^2+b^2=0
がただ一つの共通解を持つときのa,bの値を求める問題で、a>0です。

「ただ一つの共通解をもつ」というのが、「２式が共通の解を１つ持っていて、あとはそれぞれの式がそれぞれの解をもっている」あるいは「２式がそれぞれ重解を持っており、その２式の重解が一致している」と解釈できる気がするのです。
過去に似た問題を質問しているＱ＆Ａから
それぞれ(x-m)(x-p)、(x-m)(x-q)と置くものがありましたが、それでは複雑すぎる連立方程式ができてしまいます。
どなたか、ご教授頂けませんでしょうか。もし、(x-m)(x-p)、(x-m)(x-q)と置く方法が正しいのであれば、恐縮ですがどのように解くか教えて頂けませんでしょうか。よろしくお願い致します。

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

２式

x^2-(a+b^2)x-3a+a^2=0　・・・・・(1)

x^2+2ax+a^2+b^2=0　・・・・・(2)

がただ一つの共通解を持つ，というのですから
(1)式と(2)式の x は同じなので，(2)-(1) を計算すると

(3a+b^2)x+3a+b^2=0　・・・・・(3)

を得るので，(3)式から x = -1 となります．
この x = -1 を (1)式と(2)式に入れてやると
(1)式と(2)式が全く同じ式：

1-2a+a^2+b^2=0　・・・・・(4)

となります．この(4)式は，

(a-1)^2+b^2=0　・・・・・(5)

となるので，a,b 共に実数ばかりではなく，a,b の中に複素数が入り込みます．(5)式を計算すると

a=1±ib　・・・・・(6)

となります．i は虚数単位で i=(√-1), i^2=-1 です．
困りましたね！ どうやって a,b を決めましょうか？
(6)式を満たすようにすれば良いと思いますが，・ ・ ・．
私は何か勘違いか，計算違いをしているでしょうか？
さて，そこで，

a＞０なので，c を任意の実数として，

b=ic　・・・・・(7)

と置きます．この(7)式により，(6)式は，

a=1±(-c)　・・・・・(8)

となります．複素数も許すとすれば，a,b は(8)式と(7)式で
与えられます．a は，1±(-c) > 0 を満たすように，c を選べば良い
ことになります．c=0 の場合が no.1 さんにより示された解です．

お礼

お礼が遅くなりまして申し訳ございません。
締め切るのを忘れていたようで、ご迷惑をおかけいたしました。
ご回答、ありがとうございます。

回答No.1

take_5

簡単だろう。書いてないが、xもbも実数とする。

x^2+2ax+a^2+b^2＝（x+a）＾2＋b^2＝0から、x+a＝b＝0.
これらを、x^2-(a+b^2)x-3a+a^2＝0に代入すると、a（a-1）＝0.
a＞0よりa＝1.
この時、2つの方程式は、（x+1）*（x-2）＝0と（x+1）＾2＝0となり題意を満たす。

お礼

どうも難しく考えていたようです。なぜ（x+a）＾2＋b^2＝0から、x+a＝b＝0の発想ができなかったのが不思議でしょうがないくらいです。
おかげさまで大変助かりました。お早いご回答ありがとうございます。