物理・数学・哲学の謎

質問

理系劣等生の苦問 ～ どのあたりで誤解してるのでしょうか？ ～

１．点は実在しないが、連続して線になるという。
２．線は面積を持たないが、距離を示すことができる。
３．三本以上の線分に囲まれた図形は、面積を有するが、容積を有しない。

４．線分に囲まれた多角形は、容積を有するが、重量を有しない。
５．立法体は、重量を有するが、時間を有しないので移動できない。
６．多面立法体や球体は、引力や重量を有するので、自転できる。

７．一次元が線分、二次元が平面、三次元が立体、四次元は時間らしい。
８．すると、点は“〇次元”だったのか？
９．あるいは、光や音は“何次元”で出現するのか？

回答No.6

ibm_111

>９．あるいは、光や音は“何次元”で出現するのか？

音はおそらく何次元でも出現するでしょう。
基礎方程式は何次元でも普通の波動方程式です。

問題は光の方です。平坦な空間で、古典論で考えます。
電磁場の基礎方程式はMaxwell方程式と呼ばれます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%81%AE%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
divは簡単に空間n-1次元に拡張できますが、rotは無理です。
さて、ではどうするか？
空間3次元+時間1次元のミンコフスキー空間（我々の空間です。）しか
電磁場は存在しないのか？

いやいや、Maxwell方程式には共変形式で書く流儀もあります。
wikiの下の方にでています。
これを用いれば空間n-1次元でも拡張できます。

で・・・す・・・が・・・！！！
電場ベクトルは空間次元と同じn-1次元となりますが、
磁場ベクトルは、何と、(n-2)(n-1)/2次元となってしまいます。
我々の空間は、空間次元=磁場ベクトルの次元となる稀有な空間なのです。

以上の考察から、空間の次元が3以外となったとき、
はっきり言って何が起こるかまったく想像できません。
以前、何かの文献で読んだ覚えがあるのですが、紹介できません。
ですが、少なくとも我々の空間とは異なる現象が生じるでしょう。
したがって、我々が知っているような電磁波（光）も存在しないでしょう。

回答No.5

apple-man

～ どのあたりで誤解してるのでしょうか？ ～

中学校でやるユークリッド幾何学の
考え方と、現代物理学の考え方をごちゃまぜにして
いるところですね。
それと、１９世紀後半から発展している
現代数学の考え方を全くご存知ないようなんで、
その現代数学を基礎とした現代物理学とユークリッド
幾何学の矛盾を理解できないのだと思います。
　そのあたりNo.4のご回答にあるヒルベルトと
いう数学者の考え方がその一例です。
＞１．点は実在しないが、連続して線になるという。

　こういった考えは、古代ギリシャのイデア論と
言われるもので、どとらかというと宗教の信仰に
近いんです。実在しないものが目に見えるわけが
ありません。

＞８．すると、点は“〇次元”だったのか？

　次元の定義にはいくつかあるのですが、
点には方向がないと言う意味で、ゼロ次元です。

＞９．あるいは、光や音は“何次元”で出現するのか？

　光、つまり電磁波は、アインシュタインの相対性理論で
４次元で表現されています。
＞四次元は時間らしい。
　ってやつです。
　正確には、縦、横、高さと同じように、４つ目の方向
があって、それは時間だということです。
　時間方向だけは自由に行き来できず（それができるのが
タイムマシーンというやつで）、物体は存在しているだけで
時間方向に勝手に移動して行くという法則になっている
ようです。時は勝手に刻まれていくというやつです。
　エレベータの中みたいなもので、上下するエレベータの
中で、自由に上下方向に移動できず、エレベータの
移動に身をまかせるしかない。これが時間方向の移動。
時の流れというものです。

＞８．時空ａｂｃｄ四次元、別世界ａｂｃｄｅ五次元……とつづく。

　理系劣等生の苦問というあたりからして、高校の数学は
だいたい分ると思っていいでしょうか？そういった前提で
話をすると・・・

　XYZといった座標軸は互いに直交していますよね。
空間上の１点を指し示すのに、互いに独立（線形独立）した
ベクトルが最低いくつ必要か？必要なベクトルの個数が「次元」
というのが１つの定義なんです。

　我々の目に見える日常は、３次元です。なぜなら
人間の目が平面的（つまり２次元）な画像しか捕らえることが
できず、２つの目の焦点の調整から、目から距離を
割り出すことができるので、この距離方向の１次元を加えて
３次元でものを認識するのが限度ということなんです。

　ですから４次元以上を目で確認することができないので、
日常の体験から、４次元以上を認識するのが不可能なんです。

　しかし、次元というものが互いに直交するベクトルの
個数なら、空間上に互いに直行するベクトルが４つ以上
あること、つまり４次元以上を数学的に表現することができます。
　★内積というやつです！
ベクトルabcが互いに直行していれば、
それぞれの内積はゼロです。
a・ｂ＝０
b・c＝０
c・a＝０
線形一次独立というやつです。

　同じように、
a・ｂ＝０
b・c＝０
c・d＝０
d・a＝０

つまり、この空間上には互いに直交する単位ベクトルが
４つあると書けば、それは４次元なわけです。
４次元での数学的計算ができます。

　多分、以下の本を読まれると、かなり疑問が
解決するのではないかと思います。

次元の秘密―自然単位系からDブレーンまで

http://www.amazon.co.jp/%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AE%E7%A7%98%E5%AF%86%E2%80%95%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3%BB%E3%81%8B%E3%82%89D%E3%83%96%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%81%BE%E3%81%A7-%E7%AB%B9%E5%86%85-%E8%96%AB/dp/4777511669/ref=sr_1_2?ie=UTF8&s=books&qid=1223781578&sr=8-2

回答No.4

noname#70519

最も基礎になっている１．～３．については、ヒルベルトの「幾何学基礎論」を読まれると
よいでしょう。ヒルベルトは、点、直線などを公理として定義し、数学の基礎を覆しかねない
危機を救うため公理主義の数学の建設を試みています。
４．以降は、それを踏まえた上で考えてみるとよいと思います。

回答No.3

semikuma

単なる座標の取り方に過ぎない「次元」と、「物理量」である質量や距離、面積、容積、時間などとを混同しているから混乱するんですね。
理系なら特に、もっとSFを読んだ方がいいですよ。

1. 何次元の空間内であっても点は実在"します"。
但し点には"大きさ"がないので、点の中には座標が存在しません。
従って8.点自体は0次元です。
2. 「線」は「点」が"一次元"に(つまり一方向に)並んだ集合です。
「点」には大きさがない、つまり「厚さ」がないので、「距離」は示せますが「体積」はありません。
3. 「面」は「点」が「二次元」に(つまり2つの方向に)並んだものです。
2.と同様、厚さがないので面積は示せますが「体積」はありません。

4. 「体積」を有することと「重量」を有することは無関係です。
「点」が「質量」を持っていれば、「重量」もあります。
5.6.9. 意味不明

7. 我々が存在しているこの空間は「三次元」で表現されます。
言い方を変えれば、人間は三次元までを認識でき、三次元内は自由に移動できますが、もう一つの「座標軸」である「時間」は、認識できるが自由に移動することは今のところできていません。
X,Y,Zの三軸(三次元)に加えて「時間軸」まで移動できることを、SFでは「四次元の世界」「タイムスリップ」「ワープ」「テレポート」「タイムマイン」などと表現します。

お礼

改答３

１．点は実在しないが、連続すれば線になる。
２．線は面積を持たないが、距離を示すことができる。
３．三本以上の線分に囲まれた多角形は、面積を有し、容積を有しない。

４．六本以上の線分に囲まれた多面体は、容積を有し、質量を有しない。
５．立法体は、質量を有しても、時間を有しなければ、移動できない。
６．多角形・多面体・立法体・球体は、引力や重力があれば自転できる。

７．点は〇次元、線分ｘ一次元、平面ｘｙ二次元、立体ｘｙｚ三次元。
８．時空ａｂｃｄ四次元、異空間ａｂｃｄｅ五次元……とつづく。
９．時間（光や音）は“何次元”にも出現する。

補足

改答３＊（改答３＝誤記）

１．点は実在するが、面積を持たず、連続すれば線になる。
２．線は面積を持たないが、距離を示すことができる。
３．三本以上の線分に囲まれた多角形は、面積を有し、容積を有しない。

４．六本以上の線分に囲まれた多面体は、容積を有し、質量を有しない。
５．立法体は、質量を有しても、時間を有しなければ、移動できない。
６．多角形・多面体・立法体・球体は、引力や重力があれば自転できる。

７．点は〇次元、線分ｘ一次元、平面ｘｙ二次元、立体ｘｙｚ三次元。
８．時空ａｂｃｄ四次元、異空間ａｂｃｄｅ五次元……とつづく。
９．時間（光や音）は“何次元”においても出現する。

回答No.2

Mandheling

1.もちろん「線」も実在しません。ですから点が連続して線になって何の問題もありません。
2.3.はい、そうでうす。
4.そうなんですか？多角形って二次元の図形じゃないんですか？
5.立方体に重量（または質量）を有するって断言はできないと思います。その立方体が質量をもつ物質で構成されている必要があります。時間に関しては
6.多面立方体がちょっとわかりません、ごめんなさい。「引力や重量」については5.の前半と一緒です。
7.多分誤解の根本はここだと思います、総括で後述します。とりあえず四次元は時間ってのは勘違いだと思います。この世で四次元というと、「空間３次元+時間１次元」ですが、次元に関する一般論的に言うと適切ではないです。時間は世界を構成する１成分であると思ってください。
8.私はそう思います。
9.何次元でも出現するんじゃないですか？

総括しますと
7.の回答に関連しますが、次元で構成されている「世界」とそこに存在する「モノ」。さらに「モノ」の位置関係や状態を示す「情報」がごっちゃになって混乱しているのでは、と思います。

お礼

改答２

１．点は実在しないが、連続すれば線になる。
２．線は面積を持たないが、距離を示すことができる。
３．三本以上の線分に囲まれた多角形は、面積を有し、容積を有しない。

４．六本以上の線分に囲まれた多面体は、容積を有し、質量を有しない。
５．立法体は、質量を有しても、時間を有しなければ、移動できない。
６．多角形・多面体・立法体・球体は、引力や重力があれば自転できる。

７．点は〇次元、線分ｘ一次元、平面ｘｙ二次元、立体ｘｙｚ三次元。
８．時空ａｂｃｄ四次元、別世界ａｂｃｄｅ五次元……とつづく。
９．時間（光や音）は“何次元”にも出現する。

回答No.1

Tori_30

４から、３以前と矛盾してますよね。（そこから次元が一つ重複してる？）

４の多角形も３．３本以上の線分に囲まれた～なのではないのですか？
なら容積は有しないでしょう。
６では、先ほどの５と矛盾しています。多面立方体（？立方体は既に多面なのでは？）はつまり立方体ですよね。立方体は時間を有しない。故に移動出来ない。なら自転も不可能になるはずです。（自転速度も時間に依存する量のため）

また”重量”というのなら、それも時間に依存した量であるはずです。（重量は重力加速度と関係するため）ここは質量が正しいのだと思います。

後半の７，８，９についてはよく分からないので申し訳ない。

お礼

改答１

１．点は実在しないが、連続して線になるという。
２．線は面積を持たないが、距離を示すことができる。
３．三本以上の線分に囲まれた多角形は、面積を有し、容積を有しない。

４．六本以上の線分に囲まれた多面体は、容積を有し、質量を有しない。
５．立法体は、質量を有するが、時間を有しないので移動できない。
６．多角形・多面体・立法体・球体は、引力や重力によって自転できる。

７～９．（略）