光源色のXYZの求め方について

質問

こんにちは。基本的な部分の質問になるかもしれませんがお願いいたします。

いま、ある光源からの分光密度P(λ)をもとに、光源色の三刺激値X,Y,Zを求めようと試みています。
物体色の場合は、係数kを与える式（下記）は、どのサイトや本にも書かれていますが、光源色の場合は、kを与える式があまり記載されておりません。

X=k∫(380→780) O(λ)S(λ)(xバー) dλ　　　　　(xバー):等色関数
Y=・・・
Z=・・・

色彩科学ハンドブック[第2版], p.108 によると、
"分光密度が絶対値のときは，k=Km(=683 lm/W : 最大視感効果度)として三刺激値Yを測光量に一致させるが，相対値のときは三刺激値Yが測光量に一致するようにkの値を定める．ただし，色度座標だけが必要ならば分光密度は相対値で十分であって，kの値は任意でよい．"

と書かれています。
いま私が扱っている分光密度P(λ)は相対値で、色度座標だけが必要な状況です。なので、
"三刺激値Yが測光量に一致するようにkの値を定める．"
"kの値は任意でよい．"
ということになります。
しかし、実際にどうすればよいのか分からなくて困っています。
物体色の場合のkを与える式（上記の式)の、S(λ)の部分を光源の分光密度P(λ)にすればいいのでしょうか？
それとも他に方法があるのでしょうか？

少し長くなりましたが、ご教授いただければと思います。お願いします。

回答No.3

sanori

こんばんは。
一応、ＰＣ用ディスプレイ関係の元プロです。

＃２のinara1様が引用されているＣＶＲＬの数値表を使います。（国際規格です）

２度視野の表を選択するか、１０度視野の表を選択するかについては、
下記をご参照ください。
http://konicaminolta.jp/instruments/colorknowledge/part4/02.html
http://truecolors.seesaa.net/article/24926166.html

数値表に書かれている値を、このように考えます。
Ｘ（λ）　＝　そのλにおける、右から３番目の数値
Ｙ（λ）　＝　そのλにおける、右から２番目の数字
Ｚ（λ）　＝　そのλにおける、いちばん右の数字
（この時点では、３刺激値を表していないことに注意。）

測定値Ｐ（λ）を用いて、３刺激値は、
Ｘ　＝　Σ[λ=360→830] Ｐ（λ）Ｘ（λ）
Ｙ　＝　Σ[λ=360→830] Ｐ（λ）Ｙ（λ）
Ｚ　＝　Σ[λ=360→830] Ｐ（λ）Ｚ（λ）
と書けます。
ここで、λのステップは、１ｎｍ刻みでなくてもよく、
Ｐ（λ）を実際に測定したときの刻みでＯＫです。

上記でＸ，Ｙ，Ｚを求めたら、仕上げに、
ｘ　＝　Ｘ／（Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）
ｙ　＝　Ｙ／（Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）
ｚ　＝　１－ｘ－ｙ　（　＝　Ｚ／（Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）　）
を計算して、終了です。

ｋが何であっても、同じ結果になります。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

ご回答ありがとうございます！
sanori様のご回答は度々拝見しておりますが、いつもとても分かりやすくて助かっています^^
kはkとして、何も代入せずに計算してしまえば消えるということですね。
もう少し勉強して、計算してみます！ありがとうございました！

回答No.2

inara1

相対分光密度から色度座標 (x,y) を計算するだけなら、k は何でもいいです。なぜなら、色度座標の定義は
　　　x = X/( X + Y + Z )
　　　y = Y/( X + Y + Z )
　　　z = Z/( X + Y + Z ) = 1 - x - y
なので、 k が何であっても、分母と分子にある k は消えてしまうからです。

分光スペクトルが P(λ）で表わされるの光源の三刺激値の定義は
　　　X = k*∫(380nm～780nm) P(λ)*x_(λ) dλ
　　　Y = k*∫(380nm～780nm) P(λ)*y_(λ) dλ
　　　Z = k*∫(380nm～780nm) P(λ)*z_(λ) dλ
ですが、実は、k やx_(λ) ～z_(λ) はどう定義してもいいのです。どう定義してもいいのであれば、例えば、k = 683 lm/W として、y_(λ) を比視感度（波長 555nmでの値を 1 としたもの）とすれば、Y の値は光源の光束（単位 lm ）に一致するので、改めて光束計算しなくても Y の値がそのまま光束になっていて便利という理由で、y_(λ) を比視感度に選んだだけの話です。

ただし、x_(λ) ～z_(λ) をそう定義したときに Y の値が光源の光束になるのは、 P(λ） を波長λで積分した値が、全放射束 P （単位W）になっている場合です。つまり
　　　P = ∫(380nm～780nm) P(λ) dλ
が成り立つ場合です。しかし普通は、測定された生の発光スペクトル Q(λ） は、波長λで積分しても全放射 にはなっていません。でも
　　　Q（λ） = a*P（λ）　　a は定数
という関係になっているのであれば（普通はそうなっています）
　　　P = ∫(380nm～780nm) P(λ) dλ = a*∫(380nm～780nm) Q(λ) dλ
なので、光源の三刺激値は
　　　X = a*k*∫(380nm～780nm) Q(λ)*x_(λ) dλ
　　　Y = a*k*∫(380nm～780nm) Q(λ)*y_(λ) dλ
　　　Z = a*k*∫(380nm～780nm) Q(λ)*z_(λ) dλ
で計算できます。

a の値は、積分球と光パワーメータなどで測定した全放射束 P の値と、生の発光スペクトル（相対分光密度） Q(λ） とがわかっていれば
　　　a = P/{∫(380nm～780nm) Q(λ) dλ }
で計算できますが、たとえ a の値がわかっていなくても
　　x = { ∫(380nm～780nm) Q(λ)*x_(λ) dλ }/[ ∫(380nm～780nm) Q(λ)*{ x_(λ) + y_(λ) + z(λ) } dλ ]
　　y = { ∫(380nm～780nm) Q(λ)*y_(λ) dλ }/[ ∫(380nm～780nm) Q(λ)*{ x_(λ) + y_(λ) + z(λ) } dλ ]
　　z = 1 - x - y
となって、a*k は消えてしまうので、相対分光密度 Q(λ） だけあれば色度座標 (x,y) を計算できます。なお、z は x, y が決まると自動的に決まる値なので色度座標は x, y だけを使って表わされます。1nm刻みの等色関数の値は以下のURLにあります。これをテキスト形式で保存して、Excelで以下の手順で読み込めます。
「ファイル」→「開く」 → ファイルの種類を「すべてのファイル」にして保存したテキストファイルを開く → 「元のデータ形式」で「カンマやタブなどの・・」を選択 → 次へ → 「区切り文字」で「カンマ」を選択 → 完了

[1] 360nm～830nmの等色関数値（2度視野） 　http://www.cvrl.org/database/data/cmfs/ciexyz31_1.txt
[2] 360nm～830nmの等色関数値（10度視野） http://www.cvrl.org/database/data/cmfs/ciexyz64_1.txt

お礼

ご回答ありがとうございます。
三刺激値の計算時に、分母と分子でkが消えるということで納得いきました！
詳しい説明ありがとうございます。もうちょっと勉強してみます！

回答No.1

ai-mini

質問者さんが書かれている式は三刺激値の式で、係数kを与える式ではありあせんよ？書き間違えだとは思いますが…
物体色の場合のkは、
k=100/
　　　 ∫{380→780} S(λ)(yバー) dλ　← 分母

です。

お礼

すいません、間違えました。
ご指摘の通りです！