二項定理の問題です

質問

（１）2＾100の1の位を求めなさい
（２）3＾1000の1の位を求めなさい

この二つに関しては、二項定理は使わずに、2(3)の倍数の1の位の規則性を利用してそれぞれ（１）→6、（２）→1と答えだけなら出せました。

（３）a=3＾33とするとき、3＾aの1の位を求めなさい（答えは7です）

（３）に関しては全くわかりませんでした。
それぞれヒントで構いませんので、教えていただければと思います。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

Quattro99 · ベストアンサー

(3)についてです。
3の累乗の1の位は3、9、7、1、3、9、7、1．．．とループします。4通りがループするわけで、3^xを考えたとき、xを4で割ったときのあまりがわかればよいことになります。
つまり、その問題では3^33が4で割ったときにいくつ余るのかがわかればよいことになります。3=4-1ですから、ここで二項定理を使うと．．．

補足

ヒント頂きありがとうございます。
確認なんですが、余り－１ということでいいのでしょうか？

回答No.3

Quattro99

そうですね。
余り-1ですから、余り3の場合と同じということです。つまり、3^(3^33)の一の位は3^3の一の位と同じです。

お礼

補足へのご回答もありがとうございました。

回答No.1

R_Earl

二項定理を使わない方向なら、

> 2(3)の倍数の1の位の規則性を利用して

これと似た方法でも解けます。
1の位には繰り上がりがないので、1の位だけに着目して考えるだけで良いという方法です。
1の位に使える数は0～9しかないので、3乗を33回もしたら必ずどこかでループします。

3^(3^33)
= 3^(3×3×…3)
= (…((3^3)^3)^3…)^3
です。

一番内側の3^3を計算すると27(1の位7)、
よって

(…((3^3)^3)^3…)^3
= (…(27^3)^3…)^3

27の3乗を計算した時、1の位は7×7×7 = 49×7 = (1の位が3の数)
となります。

後はこれの繰り返しです。
1の位が3の数を3乗すると1の位が7の数になり、
1の位が7の数を3乗すると1の位が3の数になります。
1回3乗すると1の位が7の数になり、
2回3乗すると1の位が3の数になるので、
奇数回で1の位は7となります。
3^(3^33)では、3乗を33回行うので、求める答えは7となります。

お礼

わかりやすいお返事ありがとうございました。