恒等式？部分分数法？

質問

こんばんわ。よろしくお願い致します。
分数式において、

部分分数で分解した分子を、ax+bにする場合と、aのみにする場合が二通りあり、パニックになっています。

色々調べてみているのですが、いまいち解決策が見つかりません・・・

例えば、
(x^2 +10x-15)/(x^3 -2x^2 -x+2)=(□/x-1)+(□/x+1)+(□/x-2)
の□を求めよ。
という問いでは、=a/(x-1) + b/(x+1) +c/(x-2)
と置いてありますし、

片や、別の問題では、
(x^2 +3x +5)/[(x+1)^2・(x+2)]=[(px+q)/(x+1)^2] + r/(x+2)
のように、aでは無く、ax+bなどのように置かれています。

どのような区別で、このような置き換えの差が出ているのでしょうか？。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

分母に(x+1)^2
のような２乗項があれば
(px+q)/(x+1)^2
の項が出るわけです。

(px+q)/(x+1)^2
は
[a/(x+1)]+[b/(x+1)^2]
とおく事と同じです（この形に相互に変形できます）。

[a/(x+1)]+[b/(x+1)^2]={a(x+1)+b}/(x+1)^2
なのでp=a, q=a+bという関係にあります。

お礼

な・・・なるほどっ！！
ありがとうございます。
謎が解けました。
分解したときに、分母を(x+1)^2だけのときと、(x+1)もくっつけて分ける時もあって、これについても？？？だったのですが、

>(px+q)/(x+1)^2
>は
>[a/(x+1)]+[b/(x+1)^2]
>とおく事と同じです（この形に相互に変形できます）。

だったのですね・・・！
凄く助かりました。
とても分かりやすい説明ありがとうございました！

回答No.2

mintia-108

＞片や、別の問題では、
(x^2 +3x +5)/[(x+1)^2・(x+2)]=[(px+q)/(x+1)^2] + r/(x+2)
のように、aでは無く、ax+bなどのように置かれています、

分母が(x+1)^2とxの2次ですから、
分子はxの1次の形にしないと一般性を失いますね。

補足

お返事ありがとうございます。
もちろん、最初はワタシもそうなっているのかな・・・？と思っていたのですが、

このような問題例があり、混乱してしまいました・・・

(x^2 -13)/(x^3 -3x -2)=A/(x+1) + B/(x+1)^2 + C /(x-2) が恒等式とする。
両辺に(x+1)^2・(x-2)をかけると、
x^2 -13=(A+C)x^2 + (-A+B+2C)x-2A-2B+C

両辺で、係数、定数項を比べて、
A=2 B=4 C=-1

↑の場合だと、分母が、(x+1)^2の場合は、Bx+Cでなくてはいけませんよね？？

回答No.1

koko_u_

>どのような区別で、このような置き換えの差が出ているのでしょうか？。
その差は明白です。もう少し注意深く観察しましょう。

お礼

ありがとうございます。
もう少し落ち着いてゆっくり観察してみなくてはダメデスね・・・