第二種スターリング数の母関数の組合せ論・計数子による解釈
1,2,3,…,nのn個の数字を、k種類の区別のないグループに分ける場合の数を、第二種スターリング数と言って、ここでは、S(n,k) と書きます。
すると、1,2,3,…,nのn個の数字を、k種類の区別のあるグループに分ける場合の数は、k!*S(n,k) となります。
これは、f:{1,2,…,n}→{1,2,…,k}の全射の場合の数でもあります。
ところで、
Σ[n=0,∞] k!*S(n,k)x^n/n! = (e^x - 1)^k
という公式があります。
右辺のx^n/n!の係数は、1,2,…,kの数字を重複を許してn個並べて、全種類の数字が少なくとも1回は使われているという条件をつけたときの場合の数とみなせます。（指数型計数子）
ここまではいいのですが、似たような公式
Σ[n=0,∞] S(n,k)x^n = x^k/(1-x)(1-2x)…(1-kx)
を計数子によって解釈する方法があれば、どうか教えてください。
