区別できない順列

質問

区別できないものを含むA個を含むn個のものが並ぶとき
並べ方の場合の数はn!/A!

なのはなぜですか？？

回答お願いします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

たとえば、
１，２，３，４，５
という５枚のカードがあるとして、

これらのカード全てを使ってできる５桁の数は、
小さい順に
１２３４５
１２３５４
１２４３５
１２４５３
・・・・・
５４２１３
５４２３１
５４３１２
５４３２１
の５！通りがあります。

ここで、１，２，３の３枚が、ともにＡというカードに変わると、

ＡＡＡ４５
ＡＡＡ５４
ＡＡ４Ａ５
ＡＡ４５Ａ
・・・・・
５４ＡＡＡ
５４ＡＡＡ
５４ＡＡＡ
５４ＡＡＡ
となります。

ここで、たとえば、
５４ＡＡＡ
について考えると、
３つのＡを１，２，３に戻すやり方は
５４１２３
５４１３２
５４２１３
５４２３１
５４３１２
５４３２１
という６通りが考えられます。
この「６通り」こそ、３！、つまり、Ａ！にほかなりません。

要は、
このケースでは、５４ＡＡＡに限らず、Ａ４ＡＡ５やＡ５Ａ４ＡやＡＡＡ５４などについても、
それぞれの３つのＡを、
「最も左のＡ」「左から２番目のＡ」「左から３番目のＡ」
と考えて、
これらの３つのＡに１，２，３という数を当てはめるか、あてはめかいかという違いになるわけです。

当てはめると、１，２，３の当てはめ方は３！通りなのですが、
当てはめずに、３つとも同じＡと考えれば「３！通り」という考え方は消滅します。
（だから、もとの場合の数を３！で割ります。）

ですから、
１，２，３，４，５　というセットを使えば、並べ方は５！通り、
Ａ，Ａ，Ａ，４，５　というセットを使えば、並べ方は５！÷３！通り
となります。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.3

nious

少し回りくどい説明になりますが、
n個を並べるとき、A個は同じだから「同じものを置く位置」を考えると全部でnCA通りあります。
また残りはn-A個だからこの並べ方は(n-A)!通りあります。
よって (nCA)*(n-A)!=n!*(n-A)!/{(n-A)!A!}=n!/A!

回答No.2

ymmasayan

既に回答が出ていますが。
区別できないものをＸと表し、仮に１～Aと番号をつけます。
ｎ個のもののある1つの並べ方に着目すると、Ｘ1～ＸAはどういう風に入換えても同じ並べ方です。
Ｘ1～ＸAの順列はA！です。
このことから並べ方の場合の数はn!/A!になります。