完全順列の総数について

質問

1、2、3…、nのn個の数字の完全順列は、1番目が2の場合がa通りあれば、1番目が3、4…、nの場合もそれぞれa通りあるのでしょうか？
参考書の問題ではすべてそうなのですが、nがどんな数字でもそうなるのか疑問に思いました。
よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。
それぞれの場合で、aとおりになります。

もしかすると、一般化してしまった方がわかりやすいのかもしれませんね。

2～nの中で kという数が選ばれたとすると、
残っている数は「1, 2, ・・・, k-1, k+1, ・・・, n」の n-1個の数であり、
並べる順序の方は、「2番目, 3番目, ・・・, k番目, ・・・, n番目」となっています。

これはどの kに対しても「同様に言える」ことです。
ですので、2の場合が aとおりであれば、他の数の場合も aとおりであると言えます。

完全順列の漸化式を求めるような問題で、
「1番目が 2の場合は aとおりだから、それを n-1倍して・・・」という示し方もあるでしょうが、
上のように一般化してしまって、「k番目」という表現で示す方法もあります。
過去にその形式での質問もあったので、参考として挙げておきます。
http://okwave.jp/qa/q5416681.html

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5416681.html

お礼

お礼が遅くなってしまい申し訳ありません。
回答ありがとうございました。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

n個の順列のうち先頭の数字を決めてしまうと、
残りの数字の組み合わせは (n-1)個の順列の数です。

つまり

a = (n-1)個の順列の数 = (n-1)P(n-1)

例えば n=4 で先頭が 2 なら

2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431 で　6通り=3!=3P3 です。

お礼

お礼が遅くなってしまい申し訳ありません。
回答ありがとうございました。