確率の計算についての質問です。

質問

●下記、作問は自分ですが、自分でも解いてみたのですが、確率計算が苦手なので問2以外は、今ひとつ自信がありません。確率の得意の方、いらっしゃいましたら宜しくお願い致します。

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・6人の人がお互いの、血液型(A,B,O,AB)の当てっこのゲームをしています。
・もちろん、他の人の血液型は誰も知りません。
・日本人の血液型の比率は　A:B:O:AB = 4:3:2:1 ですが、ゲームの参加者は、この事実を誰も知らないものとします。6人の中には、A型、B型、O型、AB型の人間が1人以上含まれています。
・ゲームは次のように行われます。

　太郎「次郎の血液型はBだと思う」
　三郎「Oだと思う」
　四郎「ぼくもOだと思う」
　五郎「Bじゃないかな」
　六郎「いや、ABだと思う」

　次郎「答えは、B型です。」

　太郎「当たった！じゃあ、次は、三郎の血液型だけれども、Aじゃないかな」
　次郎「ABでしょ。絶対…」
　…（以下略）

●問１：
　このゲームを行った結果、6人のうち2人が、他の5人の血液型を見事に的中させる確率を求めなさい（他の5人から言い当てられるのではなく、他の5人の血液型を言い当てる確率です）。このとき、血液型を類推するための手がかりは、実質的には何もないものとし、一回ごとの的中率は1/4になるものとします。

●問２：
　太郎さんは、このゲームで5人連続で他人の血液型を言い当てた後、さらに5人連続で他人の血液型を的中させ、合計10連続で他人の血液型を的中させました。
　10回連続で太郎さんが他人の血液型を当てられたのは、どの程度確率の低い偶然だったのでしょうか。一回ごとの的中率は1/4になるものとします。太郎さんは超能力者ではないものとします。

●問３：
　血液型と性格の関連性について、現在のところ医学的・生物学的根拠としては、肯定的な結果は見つかっていません。しかし、社会心理学的には予言の自己実現効果などいくつかの効果によって、結果的に性格と血液型にある程度の相関関係が見られる場合は発生しうる、と考えられています。
　そうした様々な原因によって、たまたま、先ほどの6人には血液型診断で一般に言われていることと本人達の性格の間に、ある程度の関連がみられます。そのため、相手の性格をよく知っていれば、相手の血液型を的中させる確率を１／４よりも上昇させることができます。この6人は、お互いに相手の性格をよく知っているため、お互いの血液型を言い当てられる確率が、１／４よりも高くなっています。たとえば、性格と血液型について相関関係がある程度たかく「あの性格の人はＡ型かＯ型」という二択までほぼ確実に絞り込めるような場合があれば、一回あたりの的中させられる確率は１／４ではなく、１／２まで上がります。
　さて、問１で挙げたような、「6人中2人が他の5人の血液型を全て言い当てられること」が、10回に1回程度の確率で起こるためには、一回あたりの的中率が、何パーセント以上である必要がありますか。

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補足：学校のテストなどとは何の関係もありません。問題文の中であるような、「6人中2人が全問正解」の状態が実際に起こってしまったため自分でちょこちょこ計算してみたのですが、そもそも私立文系人間なのもあり…計算結果に、さっぱり自信がありません。宜しくお願い致します。

回答No.2

teapots08 · ベストアンサー

ここのサイトのルールでは、こういう数学の問題の質問のときは、間違っていてもいいから自分の答えを出来る限り書くことになっています。次から気をつけましょう。

●問１：
まず、高校程度の確率の知識があることを前提とさせていただきます。
ある一人が他の5人の血液型を見事に的中させる確率は、(1/4)^5 。
一人でもはずしてしまう確率は1-(1/4)^5。
6人中的中させる人2人を選ぶ組み合わせは6C2
よって、
6C2*{(1/4)^5}^2*{1-(1/4)^5}^4=15*1023^4/1024^6=約0.0014%

●問２：
(1/4)^10=1/1048576
宝くじのロト6で一発で2等を当てる確率とほぼ同じ。
http://www6.plala.or.jp/lt6ksv/testdrive.htm

●問３：
一回あたりの的中率をxとおく。(xはパーセントではなく、確率の値。x/100がパーセントでの値。)
6C2*{x^5}^2*{1-x^5}^4=1/10
これを解くと、
x=0.63225
63.225%の的中率が必要である。

となりました。間違っていたらたぶん他の方が訂正を入れてくれると思います。
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ti4989さんの回答は、微妙に違っているのではないかと思われる場所があります。
問１、問３で、はずした人4人の確率が考慮されていないです。

お礼

ありがとうございます。
6C2を、計算式のどこにどう入れ込んだらよいのかが今ひとつよくわからなかったので、感謝です。

>ここのサイトのルールでは、こういう数学の問題の質問のときは、間違っていてもいいから自分の答えを出来る限り書くことになっています。次から気をつけましょう。

こちらも丁寧にご教唆いただきありがとうございました^^。

回答No.4

ti4989

ANo.1です。
やっぱり私が間違いました。
ANo.2さまのおっしゃる方が正しい答えです。
失礼致しました。

回答No.3

ti4989

ANo.1です。
例えば問１．では私の回答は
(1/4)^5×(1/4)^5×(6C2)＝0.0014%
としました。
ANo.2様は私の回答がはずれた4人を考慮していないとの
ご指摘がありましたが、私は
{(1/4)^5}^2×(6C2)＝0.0014%
としており、「^2」のところに、
「2人のみ正解で残りの4人は、全問正解したわけではない」
という意味がこめられているのでこれでいいのです。
確かに、ANo.2様のご回答のように、残りの4人が少なくとも1回は外すという意味を式に表現するために
{1-(1/4)^5}を使った式もいいのですが、やや煩雑になります。

回答No.1

ti4989

問１．
確認ですが、
・他の5人全員の血液型を当てられたのは、ひとりでも3人以上でもなく2人。
・大事なのは、血液型を類推する手がかりがあるかないかではなく、事実として的中率は1/4ではないが、ここでは1/4とする。
とすると、
(1/4)^5×(1/4)^5×(6C2)＝0.0014%
ここで、6C2はコンビネーションを示し、(6×5)/(2×1)＝15です。
ほとんど起こりえない確率ですね。
問２．
確認ですが、
・次郎さんや三郎さんははじめからトライせず、事前にトライするのを太郎さんに限定した場合の話。
(1/4)^10＝0.0001%
問３．
(x)^5×(x)^5×(6C2)＝0.10
x＝60.6%
です。

compequalさんにこのような天文学的なことが実際に起こったのは、
・血液型当てが人類史上、世界中で無数に行われ、見えないだけのはずれの例がそれこそ天文学的にある。
・日本ではA型といえば、約40%で当たるため、25%という計算上の設定が事実と異なる。
・compequalさんは6人中全問正解が3人でも4人でも5人でも6人でも不思議に思い計算したはず。つまり、事前に6人中2人を狙っていなかったため、偶然起こったこの事象の確率がすごいことに感じられるため。言い換えると何かは100%起こるのに、起こった後からこの事象だけに注目すると奇跡的に思われるのです。これは、ある人とある人が出会って恋する確率が(地球の男性の人数)×(地球の女性の人数)通りあるのに、不思議だなと思うのに似ていますね。

お礼

ありがとうございます。助かりました。

それと、一応補足コメント

>見えないだけのはずれの例、奇跡の後付
仰るとおりかと思います。確かに、「単にレアなことが起こっただけ」という説明をある程度まで受け入れるべきか、と。

>日本ではA型といえば、約40%で当たるため、25%という計算上の設定が事実と異なる。

この点は質問をさせていただく事前にちょっと考えたのですが、
的中率40%が成立するためには、
１．ゲームの参加者が、あらかじめ、A:B:O:AB=4:3:2:1という事実を知っており。
２．相手の血液型を全てＡと言う、という戦略を採る
という二つの前提条件が必要なのではないかと思ったのですが…。

たとえば、答えが100%Ａの問題であっても、四つの選択肢の中からランダムに選んでいった場合には、的中率は25%のではないか、と考えて、１／４とさせていただきました…

的中率上昇の理由としては、
・予言の自己成就（そもそもは偽の相関だったものが、信じることによって、結果的に事実となる）
・6人のうち2人は、相手の表情・期待を読むのが上手かった。（例えば、前の人が「Ａでしょ」とか「Ｂでしょ」とか言ったときの表情を見て、自分の意見を調整していた。）
・ただの偶然
といった、複数の理由の組み合わせでいいんじゃないか、と思っております。