平均化関数

質問

平均化関数 W というのがあり、物理量 f(x)を、平均化された関数 < f(x) >

< f(x) > =∫ W( x - x', h ) f(x') dx'

h でどの程度平均化されるか決まる

で表すとあったのですが、このなかにでてくる「 x'」 が何を差しているのかわかりません。教えてください。

回答No.3

uyama33 · ベストアンサー

平均化された関数を
Ｆ(x)
とします。
この関数の点 a における値は
Ｆ(a)= < f(a) > =∫ W( a - x', h ) f(x') dx'
で計算されます。
　さて、
a = 0 の場合について考えると
Ｆ(0)= < f(0) > =∫ W( - x', h ) f(x') dx'
これは、平均化された関数の値を求めるときに
y=W(x,h) のグラフを原点に関して左右逆にしたもの
ｙ＝Ｗ(-x,h)
を　f(x) に掛けてから
積分しているのです。
ところで、
ｙ＝Ｗ(-x,h)　のグラフを　a だけ平行移動したものは
ｙ＝Ｗ(-(x-a),h)=Ｗ(a-x,h)
となります。
ここで、
Ｆ(a)= < f(a) > =∫ W( a - x', h ) f(x') dx'
　　　　　　　　　＝∫ W( a - x, h ) f(x) dx
（積分変数を x にしました。）
平均化関数をaだけ平行移動してから掛けて積分している
ことを意味しています。
　したがって、Ｗ(x-x',h)　の　x' も積分変数です。

もし、見当違いの解答でしたらごめんなさい。

お礼

わかりやすい回答ありがとうございます。自分の勉強不足だったようです。
充分理解できました。再度、お答えいただきありがとうございました。

回答No.4

siegmund

uyama33 さんのおっしゃるように，x' は積分変数という他ありません．
x' が何かわからないと言うよりは，
平均操作ということの概念の理解に問題があるような気がします．

例えば，x 軸上で電波強度を測るとします．
座標をステップ的にしておいて，x = ..., -3,-2,-1,0,1,2,3, ... とします．
点 i での強度を f(i) とします．
測定装置がかなり大きくて(測定装置に入る電波量を稼ぐため)，
１点での電波だけではなくて，周りの数点の電波も入ってしまうとしましょう．
その割合が，中心の点が 0.4 の割合，隣の２点が 0.2 ずつ，
もう一つ隣の２点が 0.1 ずつとします．
全部加えて，
(1)　　0.4 ＋ 2×0.2 + 2×0.1 = 1
で，１になっていることに注意してください．
この割合が W(i) です．つまり，上の例では
(2)　　W(0) = 0.4，　W(1) = W(-1) = 0.2，　W(2) = W(-2) = 0.1，
　　　　W(i) = 0 for |i|≧3
となっています．
では，中心を x=5 の点にして，
観測される電波強度(これが，「平均された」強度)はどうなりますか？
当然
(3)　　<f(5)> = 0.1×f(3) + 0.2×f(4) + 0.4×f(5) + 0.2×f(6) + 0.1×f(7)
ですね．
W(i) を用いて書けば
(4)　　<f(5)> = W(2)f(3) + W(1)f(4) + W(0)f(5) + W(-1)f(6) + W(-2)f(7)
　　　　　　　= Σ_{j=3～6} W(5-j) f(j)
です．
もちろん，W(i) は(2)の形に限るわけでなはなくて，
一般にどんな形でもＯＫです．
形を支配するパラメーター h を入れて，一般に W(i,h)と書くことにすると
(1)に対応するのが
(5)　　Σ_i W(i,h) = 1
(4)に対応するのが
(6)　　<f(i)> = Σ_j W(i-j,h) f(j)
です．

もともと，f は連続関数でしたから，連続版に焼きなおしますと
(7)　　∫ W(x,h) = 1
(8)　　<f(x)> = ∫ W(x-x',h) f(x') dx'

もう x' の意味はおわかりでしょう．

上の例では W(x) が偶関数になっていますが，別にその必要はありません．
例えば，誰かがドジをやって測定装置の電波の入り口を曲げてしまったりしたら，
左右対称性はなくなりますから，W(x) は偶関数ではなくなります．

W は重み(weight)から来ているのでしょう．

回答No.2

uyama33

Ｗ（ｘ、ｈ）はｘについて偶関数ですか？

回答No.1

uyama33

< f(x) > =∫ W( x - x', h ) f(x') dx'

x'　について積分する。

という意味です。

たとえば、
f(x) = sin(x)

∫ W( x - x', h ) sin(x') dx'

この積分では、x は定数扱いされます。
積分する時の変数は、x'　です。

お礼

早速のお答えありがとうございます。でも、聞きたいこと答が違ってました。こちらの説明不足が原因なのですが。聞きたかったのは、平均化関数の中の「x'」です。もしよろしければ、再度お答え願えないでしょうか？