二直線のｋについて

質問

２直線３＋４ｙ－17＝０、ー２y＋１＝０の交点と点(-1,3)を通る直線の方程式を求めよ。という問題では
３＋４ｙ－17＋k(ー２y＋１)＝０をはじめに考えるようなのですが、ここではなぜｋ倍するのでしょうか？
何か意味があるのでしょうか？

回答No.4

Willyt · ベストアンサー

３Ｘ＋４Ｙ－１７＝０　且つ　Ｘ－２Ｙ＋１＝０　を（１）とします。
次に
３Ｘ＋４Ｙ－１７＝０＋ｋ（Ｘ－２Ｙ＋１）＝０　但しｋは任意の数
を（２）とします。
（１）を解けば二つの直線の交点が求まります。これを覚えておいてください。
さて、（１）ならば（２）が成り立ちますね。また、（２）なら（１）も成り立ちますね。つまり（１）と（２）は必要十分、言い替えれば同値です。従って（１）と同値の（２）も（１）で求めた交点を通る筈ですね。ということは（２）は（１）の交点を通る直線を表わしていることになすます。つまり、（２）はｋの値を変えることにより（１）の交点を通る直線すべてを表わしていると言えるのです。　
そこで、そのｋは（－１，３）を通るという条件から決まり、無事に求める式が出て来るという筋書きです。

お礼

わかりました！！！丁寧な解説、ありがとうございました。

回答No.3

take_5

この“直線群”について説明しておく。

＞２直線３x＋４ｙ－17＝０、xー２y＋１＝０の交点を通る直線は、３＋４ｙ－17＋k(ー２y＋１)＝０として表されるに過ぎない。

a*f（x、y）＋b*g（x、y）＝0　‥‥(1)は2つの直線（実は曲線でも良い）：f（x、y）＝0とg（x、y）＝0の交点を通る事を証明しょう。

f（x、y）＝３x＋４ｙ－17＝０、g（x、y）＝xー２y＋１＝０とすると、この直線の交点を（α、β）とすると、f（α、β）＝０、g（α、β）＝０である。
従って、任意の実数：aとbに対して、a*f（α、β）＋b*g（α、β）＝0が成立する。‥‥(2)
(1)と(2)を比べると、x＝α、y＝βが(1)を満たしているから直線(2)は点（α、β）を通る。

これは、高校数学では重要な事なので必ず覚えておく事。

回答No.2

take_5

＞ここではなぜｋ倍するのでしょうか？

別にｋ倍しているのではなくて、２直線３＋４ｙ－17＝０、ー２y＋１＝０の交点を通る直線は、３＋４ｙ－17＋k(ー２y＋１)＝０として表されるに過ぎない。
これを“直線群”というが、実はこの書き方は正しくない。
正しくは、aとbを定数として、a*（3x+4y-17）＋b*（x-2y+1）＝0　‥‥(1)（多分、書き込みミスだと思うので勝手に訂正）と置くべき。

なぜなら、

2直線：7x+5y+3＝0と6x+11y-4＝0との交点を通る直線の中で、直線：6x+11y＝0に平行なものを求めよ。という問題を解いてみるとその理由がわかる。

この問題に適用すると、
(1)に（x、y）＝（-1、3）を代入すると、aとbの関係が出るから、(1)に代入して、それで答えが出る。

回答No.1

info22

kは任意の実数（どんな実数の値もとりうる）であって、kについての恒等式である事を意味しています。文字自体はkでなければ駄目という事ではありません。２直線の交点の座標のx,yは、どちらの直線上の点でもあります。勿論、kの式も満たしますね。
このような任意定数の使い方は、巧妙な使い方ですね。