Q上既約多項式x^3+px+qの最小分解体(修正版)

質問

KがQの3次拡大体⇔√D∈Q
ただし
Q:有理数体
D:=－(4p^3+27q^2)
と教えていただきました。
虚数解が存在する時にはKがQの6次拡大体になることは明白なので
以下与式が3実解を持つ(0<D)とします。

A:=(-q/2+i√D/6/√3)^(1/3)の実数部
B:=(-q/2+i√D/6/√3)^(1/3)の虚数部
(ただし^(1/3)は複素平面上偏角が正で最小のものとする)
与式の1実解は
α=2A
と表され
他の実解の1つは
β=-A-√3B
と表される。
-q/2+i√D/6/√3=(A+iB)^3より
A^3-3AB^2=-q/2
3A^2B-B^3=√D/6/√3
なので
β=-α/2-√D/(2α^2-q/α)/2

従って
√D∈Q⇒KはQの3次拡大体
ということは分かりました。

質問は
KがQの3次拡大体⇒√D∈Q
の理由を教えてください。
√D∈Q(α)⇒√D∈Q
を示すことが出きればいいと思うのですが・・・

なお、前回の同じ質問は間違っていたので回答しないでください。
よろしくお願いします。

回答No.1

guuman

√D=a・α^2+b・α+c
として
α^3+p・α+q=0
を使うと
c^2-2・a・b・q=D
2・b・c-2・a・b・p-a^2・q=0
2・a・c+b^2-a^2・p=0
これにより
a=b=0
または
a≠0かつ(b/a)^3+p・(b/a)+q=0
(b/a)^3+p・(b/a)+q=0は与式が既約であるからありえないので
a=b=0

お礼

よく分かりました。
ありがとうございました。