高校生の軌跡の問題

質問

こんにちわ。今、解けない問題があって困っています

　AB=2である２定点A,Bに対して、条件　AP^2-BP^2=1　を満たす点Pの
　奇跡を求めよ

という問題です　よろしくお願いいたします

回答No.5

mmky · ベストアンサー

＃1のoshiete_goo先生の記述に関する注意点もあるので、それを参考にやってみましょうね。
質問者のyusuke641さん、まず、
「AB=2より,A(-1.0),B(1,0)とする座標平面をとる．
P(x,y)として，与式を表すと．．」ですよ。
｜AP|=√｛(x+1)＾2+y＾2｝
｜BP|=√｛(x-1)＾2+y＾2｝
｜AB|=2
ですから、線分APと線分ABをはさむ角度をθとして余弦定理を用いると
｜BP|と他の線分との関係は、以下になる。
｜BP|＾2=｜AP|＾2+｜AB|＾2-2｜AP|｜AB|cosθ
ここで、P(x,y)であるので、cosθ=(x+1)/｜AP|, また｜AB|=2
を代入すると、
｜BP|＾2=｜AP|＾2+4-4(x+1)
ところが、条件　｜AP｜^2-｜BP｜^2=1
であるので、代入して整理すると、
-1=4-4(x+1), (x+1)=5/4, x=5/4-1=1/4
つまり、ｘ=1/4 を通る点P(1/4,y)が軌跡。

参考程度まで

回答No.7

oshiete_goo

#6の補足です.
AB=2が与えられているので,答の表現としては比でなく長さを使って
『線分AB上でAC＝5/4(ないしはBC＝3/4)となる点Cを通りABに垂直な直線』
といった答え方も正解ですね.

ただし，幾何学的には絶対的な長さではなく，ABに対する比の方が意味があって，
それは　AB＝2a，AP^2-BP^2=a^2　という一般化を考えてみれば分かるのではないでしょうか．(この場合も『線分ABを5:3に内分する点を通ってABに垂直な直線』です．)

回答No.6

oshiete_goo

mmkyさんのご回答が既にありますが,
一番平凡な解答を示します.

A(-1,0),B(1,0)とする座標平面をとり, P(x,y)とすると
AP^2＝(x+1)^2+y^2
BP^2＝(x-1)^2+y^2
これを与式 AP^2-BP^2=1 にそのまま代入して
{(x+1)^2+y^2}-{(x-1)^2+y^2}＝1
左辺を展開,整理すると(中略)
4x＝1
∴x＝1/4
このときy座標は特に制限がなく, 全ての値をとりうるので, 点Pは直線x＝1/4全体を描く.

答:線分ABを5:3に内分する点を通ってABに垂直な直線を描く.

回答No.4

oshiete_goo

線分ABを〇:〇に内分する点を通って,ABに垂直な〇〇
などとなりそうですね.

回答No.3

BCT

すいません。＃2で回答したものです。
AP^2-BP^2=1では円にはなりませんね。
ごめんなさい。m(_ _)m

回答No.2

BCT

AB=2 ということは AB間の距離が2という意味ですか？

それならば、2点間の距離を求める公式、円の公式や楕円の公式とにらめっこしてください。

回答No.1

oshiete_goo

AB=2より,A(-1.0),B(1,0)とする座標平面をとる．
P(x,y)として，与式を表すと．．．
注意としては答えるときに，式でなく，２定点A，Bとの関係で言葉で答えなくては(厳密には)正しくないことで，例えば，線分ABの垂直二等分線などと答えます．