ボディブレードの軌跡

質問

弾力性のある棒の中心を持って一定周期で振ると棒が曲がってビヨンビヨン振動しますが、この運動の解析ができなくて困っております。
ダイエット器具のボディブレードのイメージです。

最終的に求めたいのは、棒の曲がりが最大になったときの棒の各点における振動方向の加速度です。
弦の振動の解析をマネして考えてみましたが、微小領域から端にある部分の慣性をどう扱っていいのかわからず、行き詰まっています。
方程式導出のヒントだけでも教えていただければ大変助かります。

回答No.2

inara1 · ベストアンサー

これは片持ち梁を振動させたときの梁の形状から求められると思います。

長さ L [m] の梁の共振周波数での形状は次式で表わされます。
　　　y(x) = C*[ { sin( λm*L ) + sinh( λm*L ) }*{ cos( λm*x ) - cosh( λm*x ) }
　　　　　　　　　- { cos( λm*L ) + cosh( λm*L ) }*{ sin( λm*x ) - sinh( λm*x ) } ] --- (1)
Cは定数ですが、これが周期的に変動するとして C = C0*sin(ωm*t) などとすれば、共振時の梁形状の時間変化になります。ωm はモードmでの共振の角周波数 [rad/s] で次式で表わされます。
　　　ωm = λm^2*√( E*I/ρ/A )
E はヤング率 [Pa]、I は断面２次モーメント [m^4]、ρ は密度 [kg/m^3]、A は断面積 [m^2] です。固有値 λm は次式の解です。
　　　cos( λm*L )*cosh( λm*L ) + 1 = 0
　　　→ λ1 = 1.875/L、λ2 = 4.694/L、λ3 = 7.855/L

一方、梁の曲げ運動の基礎方程式は
　　　E*I*∂^4y/∂x^4 + ρ*A*∂^2y/∂t^2 = 0
ですが、∂^2y/∂t^2 というのは加速度なのでこれを a [m/s^2] とすれば
　　　a = -(E*I/ρ/A }*∂^4y/∂x^4
となります。∂^4y/∂x^4 は式(1)を x で４回微分すれば
　　　∂^4y/∂x^4 = C*λm^4*[ { sin( λm*L ) + sinh( λm*L ) }*{ cos( λm*x ) - cosh( λm*x ) }
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　- { cos( λm*L ) + cosh( λm*L ) }*{ sin( λm*x ) - sinh( λm*x ) } ]
なので加速度は
　　　a = -(E*I/ρ/A }*C*mλ^4*[ { sin( λm*L ) + sinh( λm*L ) }*{ cos( λm*x ) - cosh( mλ*x ) }
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　- { cos( λm*L ) + cosh( λm*L ) }*{ sin( λm*x ) - sinh( λm*x ) } ] --- (2)
となります。曲がりが最大となるのは C = C0 のときなのでそのときの加速度は上式で C = C0 としたときの値になります。

式(1)の変位と式(2)の加速度を比較すると、[　] の中が同じなので、梁の形状（x依存）と加速度の形状（x依存）は相似形です。したがって変位の極大点 = 加速度の極大点になると思います。

棒の曲がり（変位）が最大になった瞬間は棒は止まっていますが、そのときの加速度の大きさはゼロどころか最大になります。棒の振幅の時間変化 は sin(ωm*t) ですが、これを t で１回微分した速度は ωm*cos( ωm*t )、２回微分した加速度は -ωm^2*sin(ωm*t) なので、振幅が最大になる時間 t = n*π/2 ( n=0,1,2,・・）のとき、速度はゼロですが加速度の大きさは最大になります。

お礼

nara1さんありがとうございます。
(加速度)-xグラフの形状が知りたかったので、これが梁の形状と相似だということが分かって大変助かりました。
導出過程もわかりやすく教えていただいてありがとうございます。

回答No.5

inara1

>最後の文章についてですが、ωmt = π/2 + nπなので t = (π/2 + nπ)/(ωm) ではないですか？
その通りです！

お礼

何度もありがとうございました。

回答No.4

inara1

ANo.2です。間違いがありました。
【誤】　a = -( E*I/ρ/A }*C*mλ^4*[ { sin( λm*L ) + sinh( λm*L ) }*{ cos( λm*x ) - cosh( mλ*x ) }
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 - { cos( λm*L ) + cosh( λm*L ) }*{ sin( λm*x ) - sinh( λm*x ) } ] --- (2)
【正】　a = -( E*I/ρ/A )*C*λm^4*[ { sin( λm*L ) + sinh( λm*L ) }*{ cos( λm*x ) - cosh( λm*x ) }
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 - { cos( λm*L ) + cosh( λm*L ) }*{ sin( λm*x ) - sinh( λm*x ) } ] --- (2)
最後の文章
【誤】　振幅が最大になる時間 t = n*π/2 ( n=0,1,2,・・）のとき
【正】　振幅が最大になる時間 t = n*π/2/ωm ( n=0,1,2,・・）のとき

お礼

再びありがとうございます。４乗の位置が違っていたのですね。
最後の文章についてですが、
ωmt = π/2 + nπなので
t = (π/2 + nπ)/(ωm)
ではないですか？

回答No.3

rabbit_cat

弦の振動よりも、材料力学の本なんかに載っている片持ち梁の振動についてを参考にするといいでしょう。
片持ち梁の運動方程式は（減衰を無視した場合）、
E*I*(∂^4y/∂x^4) + ρ*A*(∂^2y/∂t^2) = F
です。
E：ヤング率
I：断面二次モーメント
ρ：材料の密度
A：断面積
F：外力
です。

お礼

片持ち梁という問題があったのですね。
材料力学は一般教養で少しやっただけなので知りませんでした。
ありがとうございます。

回答No.1

tiltilmitil

＞棒の曲がりが最大になったとき

　この瞬間だと、反転するその時ということだから速度も加速度もゼロなのでは。

お礼

tiltilmitilさん回答ありがとうございます。
確かに速度はゼロですが、加速度はゼロではないはずです。