ある物理、力学の問題で悩んでおります。

質問

こんにちは、少々悩ましい物理の問題に出会いまして、どうかヒントを頂きたくお願いします。
添付の左図（図１）をご覧下さい。
長さ6m、質量30kgの棒がL字型の物体に寄りかかるようにして固定されています。点Oで回転ができるように固定されています。
そして、物体は加速度a = 10 m/s^2で左に動いております。
この際、点Aにおいて棒が物体から受ける力Raを求める。というものです。
また、続きとしてRyとRxを求めるということになっております。

模範解答では、図２のように棒に掛かっている力を示しております。
G点にかかっているmaは慣性力とのことです。そして模範解答では、
O点回りの回転がない、つまり力のモーメント（トルク）がゼロであることを利用して、
0 = 3m x 30kg x 10 m/s^2 x (sin60) – 1m x Ra
Ra = 779 N

という回答でした。

ところが、私は図３のように棒に掛かる力を表しまして、
同じくO点回りの回転がないことを考慮して、
0 = 3m x 30kg x 9.8 x cos60 – 1m x Ra
Ra = 441 N
となってしまいました。

疑問点が二つあります。

Q１：　模範解答ではなぜ重力を考慮していないのでしょうか。

Q２：　私の解答方法のように慣性力を入れないで解く方法はないでしょうか。

私は、この後に、
X方向の運動方程式： 30kg x 10 m/s^2 = Ra(sin60) – Rx
Y 方向の運動方程式： 0 = Ry + Ra(cos60) – mg

からRx, Ryを求めました。

概して申し上げますと、私の解法ではO点周りのトルクを考える時に
物体の加速度を考慮に入れていないことになります。考慮に入れるとしたら
、どのようにするのか、分かりません。また、実際、棒は回転していない訳でして、
なぜ考慮する必要があるのか、そのことさえ分からずにおります。
加速度系と慣性系の違いと言われればその通りなのですが、どうか
ヒント・解説を頂きたくどうぞ宜しくお願いします。

回答No.2

ninoue · ベストアンサー

模範解答には誤りがあるようです。
慣性力は物体に力が加わり加速度がつく場合に結果的に現れるだけだからです。

滑らかな摩擦が無い床の上に質量M(kg)の物体があり、外部からN(kg.m/s^2)の力が加えられた場合、
Mα=N の関係が成立し、物体はα=N/M(m/s^2)の加速度で動き始めます。
(物体が加速度αで動き出す場合に加わっている力は幾らかとの問題も成立するでしょうが)

垂直、水平方向の運動方程式は質問に書かれている式が成立します。
(1) mα=-Ra*sinθ+Rx;
(2) 0=Ry+Ra*cosθ-mg;

それ以外にはO点回り、A点回りのモーメントを考慮して下さい。
(3) 0=-1*Ra+3*mgcosθ;
(4) 0=2*mgcosθ+1*Ry*cosθ-1*Rx*sinθ;

(3)より
(5) Ra=3*mgcosθ;

(5),(1)より
(6) Rx=3mgcosθsinθ+mα;

(5),(2)より
(7) Ry=mg-3*mgcos^2θ;

α=0, 10m/s^2; θ=0; θを増していった場合、θ=90deg;
の各々の場合のRx,Ryの値が常識通りに変化するか等で確認して下さい．
(なお移動方向とxの正の向きとは反対になっているので注意して下さい)

お礼

回答下さいましてありがとう御座いました。また、お礼が遅れましたことをお詫び申し上げます。

回答No.4

ninoue

再検討の結果、等加速度直線運動の場合にはQuarksさんの回答のように慣性力を考える方が分りやすいようですので、それによれば次のように求められます。

棒にはその重心に　重力:mgと　慣性力:mαが働きます。

慣性力は加速度と逆向き:右向き水平方向になります。
それを各々棒に平行な成分と、棒に直角な成分に分割します。

例えば棒の水平面との角度をθとすると、直角成分:Ft、平行成分:Fpは次のようになります。
Ft=mgcosθ +mαsinθ
Fp=-mgsinθ+mαcosθ

一方O点からの力はこの重心に加わる力とバランスするように働きます。

棒に平行な成分は重心に働く同成分と逆方向の力となり、
棒に直角な成分は、A点で考えたトルクが重心の棒に直角な分力の及ぼすトルクと逆方向でバランスするように働きます。

以上のトルクバランス式と棒に平行な力のバランス式で先ずO点に働く力の棒に平行な力と直角な力が求まります。

これらの力を、O点でのRx,Ry成分に平行な力に分割して足し算する事でRx,Ryは求まります。

Raは重心及びO点に働く棒に直角な分力の(絶対値の)和として求められます。

以上から答は求められる筈です。
疑問点等があれば途中結果と共に補足で追加下さい。

お礼

勉強になりました。ありがとう御座います。今後ともどうぞよろしくお願いします。お礼が遅くなりまして失礼いたしました。

回答No.3

Quarks

なるほど…　今まで気付かずにいた問題が存在することを、教えていただきありがとうございました。

結論から言えば、jecclさんの解法が正しいです。

回転に対して、加速度運動の影響が式に反映されてこないのだが…
とのことですが、「慣性力ｍαを考慮する」ということはどのようなことかを再確認すると疑問が解けるのではないでしょうか。
今考慮しようとしている慣性力は、物体系が並進運動（加速度有りの）している状況下で現れるものです。
釈迦に説法ですが、
外部の静止している観察者からみると、棒は加速度運動していますから、並進運動の運動方程式は
ｍα＝Ｒaの水平方向成分＋Ｒx　　（１）
(そして、　０＝Ｒaの鉛直方向成分＋Ｒy）

これを、棒と一緒に動いている観察者から見ると、棒は動いていない（合力０の状態）と判断しなければおかしいので、
彼だけに見えるｍαという右向きの力を導入して、無矛盾な統一した解釈ができるように調整・補正しているわけです。
０＝（－ｍα）＋Ｒaの水平方向成分＋Ｒx
これは、先の運動方程式（１）で、左辺値を移項しただけのものと一致していますから、矛盾がなく統一した考え方ができることになり、慣性力の導入は意味あることになります。

一方、回転を考える時に、並進運動の慣性力を考慮したらどうなるのでしょうか？
外部の観察者にとっては、Ｒa,Ｒx,Ｒy,ｍｇの４力だけが働いてるように見えますが、棒と一緒に動いている観察者にとってはこれら４力（これらはリアルな力ですから、大きさ・向きは、誰から見ても、完全に同等なものとして評価されるものです）の他に慣性力ｍαが付け加わることになり、回転のモーメントを考慮するときには、どう変形しても同致にはならない方程式が出来上がってしまいます。
つまり、片方の観察者から見てモーメントの和＝０であっても、他方の観察者にとってはモーメントの和＝０には必ずしもならないことは明白で、それにも拘わらず、どちらの観察者から見ても棒は回転していない、という矛盾に逢着してしまいます。　
つまり、回転を考える時に、並進運動の慣性力を力の１つとして含めてしまうと、互いに矛盾した結果をもたらすことになってしまうわけですから、回転運動の解析には並進運動の慣性力は考慮してはならないのだという結論になります。

お礼

詳しくご説明頂きありがとう御座いました。お礼が遅れましたことお詫び申し上げます。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

問題の全文を示したほうがよいのでは？

質問内容からでは

1) 重力が存在するのか？
2) L字型の物体は「上」を向いているのか？
3) 物体は滑らかな床を滑っているのか？
それとも何かガイドレールのようなものがあるのか？

などの条件が見えないので解けません。

お礼

ありがとう御座いました。