電磁気学の鏡像法について

質問

広い平らな胴体の表面から距離Ａの位置に点電荷ｑが置かれてる時のしょうじる電場ベクトルを鏡像法を用いて求めよ、
という問題を溶けという問題なのですが、点電荷ｑの像の位置に、－ｑの電荷を置いたとみて問題を解くと言うのはわかるのですが、どうしてこんなことができるのでしょうか？
２個の点電荷±ｑが導体の外の領域に作る電場を考えたとき－ｑの点電荷はこの領域外にあるから、領域ないでの静電場の方程式には関係してないという説明が教科書に書いてあるのですがどうして関係ないのかがよくわかりません。導体についての知識が浅いから理解できないのでと思うのですが鏡像法はやり方はわかるのですが、なぜこんなことができるのかが、本当によくわかりません。長文になりましたが回答のほうどうかよろしくお願いします。

回答No.1

specificH · ベストアンサー

なんでこんなことができるのか？という疑問ですが，「こうすると便利です．」っというだけです．（もし鏡像をつかいたくなければ，導体面で電場一定という境界条件をつけて微分方程式を解くだけです．）

胴体ではなくて導体では電子がスイスイ移動できます．電子がスイスイ移動できるということは，あっちの電場がこっちの電場にくらべてきついとかいう状態が平衡状態としてありえないということです．つまり電場が場所によって異なるということがないということです．いいかえれば「電場は導体では一定である．」ということになります．

ところで等電場線というのを書いてみると電気力線と常に垂直に交わるという話がありましたね．そこで導体の存在をいったん忘れて想像してみれば，導体表面があったところで常に電気力線が垂直に交わるためには，鏡像（導体表面に対して面対象の位置）に-qの電荷があればそれが実現できることがわかります．っというわけで鏡像が使えるわけです．

で電気力線を描いてみて，導体のことを思い出します．今の場合導体中では電場は一定で電気力線なんてないのです．ですから電気力線とか電場とかの話は導体外でのみ意味のある話なんです．

お礼

すばやい回答ありがとうございました。
胴体でなく導体でしたね（笑）。失礼しました。
教科書だけでは導体についていまいち”導体では電場が一定である”ことがよくわかりませんでしたがspecificHさんのおかげよくわかりしたし、鏡像法についての理解がかなり深まりました。わかりやすい回答ありがとうございました。

回答No.2

eatern27

ある領域V内の電荷分布ρが与えられたV内の電位φは、
ポアソン方程式：△φ＝ρ/ε
と、境界条件(導体表面で電位一定)により、一意に決まります。

Vの外に(実際にはない)電荷をおいたと考えたとしても、Vの中のポアソン方程式は変わりません。なので、もしもVの外にうまく電荷をおいたと考える事で、与えられた境界条件を満たすような関数φを見つける事ができたとすれば、それが今知りたい電位なのだ、という事が言えます。(V内でポアソン方程式と境界条件も満たすのですから)

こうやってV内の電位を求める手法が鏡像法です。

お礼

回答マジ感謝です！！
なるほど、ポアソン方程式が関係していたのですね。鏡像法だけでなくポアソン方程式もよくわかりました。疑問解決できました。ありがとうございました！！