極値なんですが・・

質問

lim・f(x) (x→a)=f(a)とかいてあったのに、「極値lim・3x^2+8x+5/x^2-1　(x→-1)を求めよ」という問題の解説には「lim・f(x) (x→-1)=f(-1)ではないので注意！」とかいてあったのですが・・・矛盾しているように思えて・・　　何が違うのか教えてください！！

回答No.7

eatern27 · ベストアンサー

#4です。
#4の最後に「aがxの定義域内にあればlim・f(x) (x→a)=f(a)となります」
と書きましたが、よくよく考えると間違いです。f(x)が連続でなければなりません。

例えば
f(x)という関数が下のように定義されていた場合、lim・f(x) (x→a)=f(a)とはならない場合があります。
x＝0のとき、f(x)=0
x≠0のとき、f(x)=1
このようなf(x)で
lim・f(x) (x→0)=1であるため、lim・f(x) (x→0)≠f(0)=0となります。

連続とは、グラフで言えば、どこも切れていない、という事です。(詳しい定義は忘れました。「任意の実数aに対してlim・f(x) (x→a)=f(a)が成り立つ」みたいな定義だったと思いますが、間違いかもしれません)

回答No.6

i536

>つまり、点xの関数ｆ(x)がある区域内で定義されているとき、
>点ｘがこの区域内において限りなく一つの定点aに近づくとき。
>それにともなってf(x)が限りなく一定の値αに近づく場合にlim (x→a)f(x) =f(α) と表記するだけで
>実際にはlim (x→a)f(x) とf(a)の値は違っていて、lim・f(x) (x→a)=f(a)となるときもある。
>ということでしょうか？

No.4（eatern27さんの回答）で、bell-bellさんの【回答への補足】への回答は尽きています。
上記【回答への補足】文はキー入力ミスと思われる一部分以外正しいです。

以下は、上記キー入力ミスを訂正した、蛇足みたいなものです。

<つまり、点xの関数ｆ(x)がある区域内で定義されているとき、
<点ｘがこの区域内において限りなく一つの定点aに近づくとき、
<それにともなってf(x)が限りなく一定の値αに近づく場合に、αをf(x)の極限といい、
<lim (x→a)f(x) =α と表記する。
<実際にはlim (x→a)f(x) とf(a)との値が一致するとは限らないが、lim (x→a)f(x)=f(a)となるときもある。

極限の定義を理解するには私はもっともっと時間がかかりました。
数学の勉強の半分は定義を正確に覚えることだと思っていますので、
不明な個所をいい加減にしない、bell-bellさんの態度はすばらしいと思います。

回答No.5

eatern27

簡単に言えばf(-1)が存在しないからです。
f(x)=(3x^2+8x+5)/(x^2-1)
とすると分母≠0なので
xの定義域はx≠1,-1です。
だから、f(-1)は定義されていないのです。(x=-1は定義域外です。)
一方、lim・f(x) (x→-1)は定義されています。
定義されるもの＝定義されていないもの、とはなりませんね。

＞f(x)が限りなく一定の値αに近づく場合にlim (x→a)f(x) =f(α) と表記する
lim (x→a)f(x) =αですね。

＞実際にはlim (x→a)f(x) とf(a)の値は違っていて、lim・f(x) (x→a)=f(a)となるときもある
aがxの定義域内にあればlim・f(x) (x→a)=f(a)となります。

回答No.4

i536

No.1です、
No.1の回答で、---で囲んだ下記部分が間違っていますのでお詫びして訂正します。
No.2のfushigichanさんに回答を参照してください。
---
ご質問の式f(x)＝(3x^2+8x+5)/(x^2-1)の場合、x→-1とすると、
分母が0に近づきますので、この式は【一定の値に近づかず】発散してします。
したがって、極限の定義に反しますので、極限lim(x→-1)f(x)　は存在しません。
極限値が存在しない以上、下のように書くことはできません。
lim・f(x) (x→-1)=f(-1)
---
上記問題の場合、分母分子に共通因数(x+1)が含まれていますので
f(x)＝(3x^2+8x+5)/(x^2-1)は(x→-1)のとき一定値-1に限りなく近づきます。
したがって、極限値は存在します、lim(3x^2+8x+5)/(x^2-1)=-1.

ただし、x=-1ではf(x)＝(3x^2+8x+5)/(x^2-1)は定義できませんのでf(-1)そのものがありません。
したがって、lim(3x^2+8x+5)/(x^2-1)=f(-1)とは書けせん。

この種の問題で、分子が因数(x+1)を持たないないで分母が(x^2-1)の場合、
極限の定義から、極限lim(x→-1)f(x)は存在しません。

回答No.2

sharp-pen

＞lim・f(x) (x→-1)=f(-1)ではないので注意

結論から言うとこれは正しいです。

確かに計算をするときはＸに－１を代入して計算をしてしまう事が
ありますよね。「lim・f(x) (x→a)=f(a)」というのはＸで表された関数で
Ｘの値がａに近づくとどういう値になるかはＸで表されている関数に
ａを代入した値と同じと言った問題の時がそれです。しかしＸはａに
なるのではなくてあくまでａに近づくのです。Ｘ→３とかだったら
Ｘは２.９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９位です。

ですがこの値をＸの関数に代入していたら大変ですよね？
ですからおよそ３と言う事でＹのちかづく値はａそのものを代入してしまって
済ませる事にしているのです。でもＸは３にはなりません。

まだやっていないと思うのですがそのうちに

ｆ（ｘ）liｍｘ→１　（Ｘ＾２－１）／（Ｘ－１）＝　？
なんて言うのがでてきますこれはＸは１になると考えると
分母が０になってしまい問題として成り立たなくなってしまいますよね？

回答No.3

fushigichan

こんにちは。
＞極値lim・3x^2+8x+5/x^2-1　(x→-1)を求めよ

この問題で、なぜｘ→ー１のとき、ｘにー１を代入したらいけないか、というと
f(x)=(3x^2+8x+5)/(x^2-1)と、おくと
f(x)=(3x+5)(x+1)/(x+1)(x-1)
と、分子、分母が因数分解されることによって
（ｘ＋１）という因数が出てきます。
ｘ＝－１とすると、この因数でわることができなくなるので
ｘ≠ー１です
このとき
f(x)=(3x+5)/(x-1)
となるので、この式でｘ→ー１に近づけると、ｆ（ｘ）→ー１
となって極限値がわかります。

回答No.1

i536

極限の定義をいま一度一字一句指で押さえながら丁寧に読んでみられるといいですよ。
下記は高木貞治『解析概論』を参考にして書き直したものです。

点xの関数ｆ(x)がある区域内で定義されているとき、
点ｘがこの区域内において限りなく一つの定点aに近づくとき。
それにともなってf(x)が限りなく一定の値αに近づくならば、
αをaにおける【f(x)の極限】といい、次のように表記します。

lim (x→a)f(x) =α

そして、lim (x→a)f(x)の極限αが存在して、
たまたまα＝f(a)であった場合が下の表現となります。
lim (x→a)f(x) =f(a)

---
>lim・f(x) (x→a)=f(a)とかいてあったのに
多分、上を書かれている場所に、(x→a)のとき、f(x)がf(a)に限りなく近づくときという前提条件が
記載されているはずです。

ご質問の式f(x)＝(3x^2+8x+5)/(x^2-1)の場合、x→-1とすると、
分母が0に近づきますので、この式は【一定の値に近づかず】発散してします。
したがって、極限の定義に反しますので、極限lim(x→-1)f(x)　は存在しません。
極限値が存在しない以上、下のように書くことはできません。
lim・f(x) (x→-1)=f(-1)

---
他に、εδ論法による極限の定義もあります。
εδ論法で勉強されている場合、そちらの定義を参考になさってください。

補足

つまり、点xの関数ｆ(x)がある区域内で定義されているとき、
点ｘがこの区域内において限りなく一つの定点aに近づくとき。
それにともなってf(x)が限りなく一定の値αに近づく場合にlim (x→a)f(x) =f(α) と表記するだけで実際にはlim (x→a)f(x) とf(a)の値は違っていて、lim・f(x) (x→a)=f(a)となるときもある。　　ということでしょうか？