余弦定理の問題

質問

空間内に４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあり、線分ＢＣ上に点Ｅをとり、ＢＥ：ＣＥ＝k:1-kとすると、
(1-k)(AB)~2＋k(AC)~2－(AE)~2=(1-k)(DB)~2＋k(DC)~2－DE~2

を示しなさいという問題です。
ヒントにΔＡＢＥ，ΔＡＣＥに余弦定理を適用し、
(1-k)(AB)~2＋k(AC)~2=AE~2＋(1-k)(BE)~2＋k(CE)~2　をはじめに示すと良い、とあるので、自分は、この二つのΔにおいて、辺ＡＥが共通しているので、ＡＥに余弦を用い、
AB~2＋BE~2－2・AB・BEcos∠AEB
=AC~2＋CE~2－2・AC・CEcos∠AEC
=AC~2＋CE~2＋2・AC・CEcos∠AEB

と変形していったのですが、ここからの糸口がつかめません。(この方針が正しいかどうかわかりませんが。。。)

よろしくお願いします。

回答No.1

Willyt · ベストアンサー

いい線を行ってますよ。ただ、二つ式を作ります。

△ＡＣＥで　ＡＣ^2 = ～という式
△ＡＢＥで　ＡＢ^2 = ～という式を造り
上式には１－ｋをかけ、下式にはｋをかけたものと足し合わせます。これに
ＣＥ＝k・ＢＣ　ＢＥ＝(1-k)ＢＣを代入するとcos のかかった項が消えてちょうど証明する式になるでしょう？(^_^)

お礼

ありがとうございました。やっと解けました。
でも、自力では、上式に1-k、下式にkを掛け、さらに足し合わすようなこと思いつけません。

まぁとりあえずがんばります。