いっつも計算ができなくなる問題があります。

質問

ただいま公務員試験の数的処理をやっているのですが、
途中の式を立てるまではできるのですが、
何度解説を見ても
計算問題でいつもつまづいて悔しい思いをしているものがあります。

どのように展開していけば答えがでるのか教えていただきたいです。

＜問題＞
男女あわせて４０人のクラスで、英語と数学のテストを行った。
以下のことがわかっているとき
英語・数学ともに７０点以上の男子の人数として、
正しいものはどれか？

・男子は２２人でそのうち英語が７０点以上のものが７人いる。
・数学が７０点以上のものは１３人でそのうち女子が６人いる。
・英語が７０点以上で数学が７０点未満の女子が５人いる
・英語が７０点未満のものが２５人、そのうち数学も７０点未満の者が１９人いる。

＜答え＞
４人

＜私の疑問点＞
以上の問題を私はベン図を用いてといています。
文章では表現しづらいのですが、
男・英語７０点以上・数学７０点以上でそれぞれ円をつくり、
それら３つの円を交わらせています。
そして、アルファベットを上からa.b.c.d.e.f.g.hとふります。
ｈのみ円外の部分で男でもなく英語７０点以上でもなく、
数学７０点以上でもない人のことをあらわしています。

ここで式を立ててみて、
a+b+c+d+e+f+g+h=40
a+b+c+d=22
b+c=7
c+d+f+g=13
f+g=6
e=5
a+d+g+h=25
a+h=19

ここまではできるんですが、
ここから求めたい
英語・数学ともに７０点以上の男子の人数であるＣを出したいのですが、
何度やってみてもうまくいきません。

解説にやり方はありまして、確かにＣはでるのですが、
なぜその手順が思いつくのかがさっぱりわかりません。
これはもう才能しかないのでしょうか

数学的な才能がなくて申し訳ないのですが、
お詳しい方何か決まっている解放などあればよろしくお願いいたしますm(_ _)m

回答No.5

take_5 · ベストアンサー

うっかりしてました。

cも3回出てきますから、素直に他の文字をcで表せばいいんですよ。

a＝c＋8、b＝7-c、d＝7-c、f＝7-c、g＝c-1、h＝11-cですから、これらをa+b+c+d+f+g+h＝35に代入すると、c＝4.
従って、a＝12、b＝3、d＝3、f＝3、g＝3、h＝7と自動的に求まります。

とにかく、一番使われている文字で他の文字を表す事が安全で確かな方法です。

回答No.4

take_5

簡単なことですよ。

a+b+c+d=22
b+c=7
c+d+f+g=13
f+g=6
e=5
a+d+g+h=25
a+h=19

の条件の中で、一番多く出てくるのがc以外では　aとgとd（各々3回ずつ）です。
したがって、他の文字を順次a（g、又は、dでも良いです）で表していくことです。
そして最後は、それらをa+b+c+d+f+g+h=35に代入します。

それがorthodoxで確かな方法です。

回答No.3

agharta954

下の方がおっしゃられているように、マトリクスを使うほうがパズル感覚で解けるので楽だと思います。慣れるまではエクセルを使ったりすると表を書く手間が省けます。

ベン図を用いてa～hで解くのであれば８つの方程式を解いていくことになります。式が文字で溢れると混乱しやすいので、１つずつ砕いていきます。

上の式の順に(1)から(8)までの番号を振ります。
(1)－(2)より、e+f+g+h＝18　…(1)’
(1)’－(5)より、e+h＝12　…(1)’’
(2)－(3)より、a+d＝15　…(2)’
(4)－(5)より、c+d＝7　…(4)’
(7)－(8)より、d+g＝6　…(7)’

次に、これを改めて書き並べてみます。

e+h=12
a+d=15
b+c=7
c+d=7
f+g=6
e=5
d+g＝6
a+h=19

これで(6)を頼りに順々に解けていくはずです。このとき方のポイントは「文字を減らしていく」ことです。(1)のままにしておくと１つの式に文字が８つも出てきてしまうので、とても活用しにくいのが分かると思います。ダブってる部分（例えば(1)と(2)のa+b+c+d=22）は消してしまってすっきりさせると怖くありません。
これは数学の才能ではなくて、慣れだと思います。同じ文字があれば赤線を入れるなりして、どんどん消していけばいいだけです。

ただ余りにも時間がかかってしまうので、やはりマトリクスをお勧めします。何問かマトリクスで解いてみてください。慣れると時間がかなり短縮されるし、その浮いた時間を他の問題にあてることができます。

回答No.2

R_Earl

最後の8個の式はただの連立方程式です。

x + y = 2
x - y = 4

や、

x + 2y + z = 1
x - 3y - 2z = 3
2x - y + 3z = -4

と全く同じ方法で解けます。

8個の式を立ててみて、「文字式が多くて大変そう」とは感じませんでしたか？
そして、「文字が多くて大変そうだから、文字数をとりあえず減らそう」とは思いませんでしたか？
連立方程式の解法の基本はそれです。
代入やら式の足し引きやらを用いて、文字を減らして式を簡単にすることを考えて下さい。

例えば、8個の式のうち、上二つの式ですが、

a+b+c+d+e+f+g+h=40
a+b+c+d=22

両方とも左辺に「a+b+c+d」があります。
下の式を見ると、「a+b+c+d」が22であることがわかりますから、
それを上の式に代入すれば

22+e+f+g+h=40
e+f+g+h=18　（左辺の22を移項しました）

という風に変形でき、8文字の式から4文字取り除くことに成功しました。
文字数が大分減って、見やすくなったと思いませんか？
さらに、8個の式の下から3番目に

e=5

があります。これを先ほど作った 「e+f+g+h=18」に代入すれば

5+f+g+h=18
f+g+h=13

となり、3文字まで減りました。
このように文字を減らしていき、最終的に一文字の式にして下さい。
例えば、h=7のようにです。
hに当てはまる数が分かれば、それを他の式に代入することでさらに文字数を減らせます。
文字数を減らした式から、さらに他の文字式に当てはまる数を求められるようになります。
そうやって文字に当てはまる数字を少しずつ求めて、目的のcに当てはまる数字を計算してみて下さい。

> なぜその手順が思いつくのかがさっぱりわかりません。
> これはもう才能しかないのでしょうか

式を見た瞬間にcの求め方を思いつくなんてことはまずありません。
試行錯誤してひとつひとつ情報を集めていったら答えに行き着いただけだと思います。
才能よりも、「少しの根気(試行錯誤)」と「程よく手を抜く(式を簡単にする)」
ことが大事だと思います。

回答No.1

augustinus

ベン図でなくて申し訳ないのですが、男女別に、数学と英語の７０点未満、以上でマトリクス（田の字）を作るとわかりやすいかと思います。
例えば、マトリクスの縦に上から、数学７０点未満、７０点以上、横に左から英語７０点未満、７０点以上にすると、
男女それぞれ、
１、英語、数学共に７０点未満
２、英語７０点以上、数学７０点未満
３、英語７０点未満、数学７０点以上
４、英語数学共に７０点以上
のグループを作れます。

これを男子の１がa、２がｂ、３がｃ、４がｄ、女子の１がe、２がf、３がg、４がhというようにすると、
男女あわせて４０人のクラスより
a+b+c+d+e+f+g+h＝４０

男子は２２人でそのうち英語が７０点以上のものが７人いるより、
a+b+c+d＝２２（男子）、e+f+g+h＝１８（女子）
b+d＝７（男子英語７０点以上）、よってa+c＝１５（男子英語７０点未満）

数学が７０点以上のものは１３人でそのうち女子が６人いるより、
g+h＝６（女子数学７０点以上）、よってe+f＝１２（女子数学７０点未満）、
c+d＝７（男子数学７０点以上）、よってa+b＝１５（男子数学７０点未満）

英語が７０点以上で数学が７０点未満の女子が５人いるより、
f＝５（女子数学７０点未満、英語７０点以上）、よってe＝７（女子数学英語共７０点未満）

英語が７０点未満のものが２５人、そのうち数学も７０点未満の者が１９人いるより、
e+a＝１９（男女英語数学共７０点未満）、よってa＝１２（男子数学英語共７０点未満）

a＝１２がわかれば、a+b＝１５（男子数学７０点未満）、a+c＝１５（男子英語７０点未満）より、b＝３（男子数学７０点未満、英語７０点以上）、c＝３（男子数学７０点以上、英語７０点未満）がわかる。
よって、c+d＝７もしくは、b+d＝７より、ｄ＝４がわかる。

はいかがでしょうか。

お礼

みなさまわかりやすいご回答ありがとうございます！

マトリクスやってみたらなかなかわかりやすいですね！

実はキャロル図とうのも教えてもらっていたのですが、
ややこしくて断念していたのです。

マトリクスなら私にもわかりました！

ただ今回みたいに英語７０以上未満、数学７０以上未満、男、女
という風に項目が多い者はこのマトリクスでやってみて、

３つくらいの項目の少ない者は
ベン図の方でやってみたいと思います！

ありがとうございました！