円形膜のたわみ量の計算

質問

円形板ではなく，円形膜の場合の引張り応力を入れたときのたわみ量の計算式を教えてほしいです．円形の膜で周囲を固定した状態で鉛直方向に圧力を中心に加えたときのたわみの計算式は板での計算式とは異なると思うので良くわかりません．お願いします．

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

板のたわみ振動（横振動）と円形膜の振動では、方程式が全く異なります。よく知られているように、円形膜の振動はBessel関数になります。この計算は振動論の参考書であれば、どんな書籍にも書かれています。図書館やネットで調べて下さい。引張り応力を入れたときのたわみの量については、その方程式を見れば一目瞭然です。

お礼

回答ありがとうございます．
ベッセル関数が出てくるなどは分かってはいるんですが，
式を見ても，なかなか理解できなくて困っています．
なので，簡単で良いのでたわみの式だけでも分かりやすく教えて欲しいんですが・・・
頭が悪くてすいません．．

回答No.4

Meowth

面内力N（引っ張り）がかかる場合
半径aの円板
周囲でたわみ角０
円板面に均等荷重q
の場合の中心での変位は
w=ｑa^4/(4k^2D)[2(1-I0(k))/(kI1(k)+1]
変形Bessel関数
（Excelで計算できるfreeソフトあり
（有）ピーシーフレンドなど）
圧縮応力の場合
w=ｑa^4/(4k^2D)[2(1-J0(k))/(kJ1(k)-1]
など。
集中荷重の場合は　特解を変えて計算すればいい。

回答No.3

inara1

論文(2)を読んでみましたが私には理解できませんでした。
論文(1)を読むと中心変位の近似式が出ています（変位が大きいときの近似精度はあまり良くないようですが）。

膜の半径を a [m]、厚さを h [m]、残留応力を σ [Pa]、ポアソン比を ν、膜の中心の荷重を F [N] 、中心の変位を w0 [m] としたとき、F と w0 の関係は論文(2)の108ページ（PDFファイル122ページ）にある式(22)で近似されます。式のDは D = E*h^3/{ 12*( 1- ν^2 ) } です（E はYoung率 [Pa]）。

式(22)は
　　　F = A*w0 + B*w0^3
という形の３次式ですが、その解（実数解は１つしかない）は以下のようになります。
　　　w0=1/6*((108*F+12*sqrt(3)*sqrt((4*A^3+27*F^2*B)/B))*B^2)^(1/3)/B-2*A/(((108*F+12*sqrt(3)*sqrt((4*A^3+27*F^2*B)/B))*B^2)^(1/3))

式(22)の ( 704679 + 291054*ν - 357049*ν^2 )/{ 1215000*( 1 - ν^2 ) } の部分は 0 < ν < 0.5 のとき 0.58 ～ 0.835 の範囲の数値ですのでこの解は実数です。

回答No.2

inara1

知りたいのは膜が振動したときの変位でなく、残留応力（引張り）のある円形膜の中心に集中荷重を加えたときのたわみでしょうか。
それについて言及した論文(1) がWebからdownload できますが、参照している論文 (2) は契約しないと閲覧できない雑誌（Thin Solid Films）です。

論文 (1) のPDFファイルの113ページの最初のほうに、そのような系を解析した論文のLiterture Reviw があります。Wanらの研究（論文中の文献[16]）では、一様な残留引っ張り応力があり、周辺が固定された円形膜の近似解析解があり、Jensen and Thoulessの研究（論文中の文献[17]）では、円形膜の圧縮応力や引張応力がかかっているときの、微小変位あるいは大変位での解析結果が出ているようです。論文(1)のPDFファイルの137ページに集中荷重を受けた円形膜の絵（Wanの論文からの引用）が出ています。

論文(1)のPDFファイル114ページに、Wanらの論文の解析解のReviwが出ていますので、論文(2)を入手しなくても、ここを読んでみれば内容を理解できるかもしれません。もし理解できなければ論文(2)に当たってみるしかないでしょう。7d7d7 さんの大学や職場で論文(2)を閲覧できないか確認してみてください（私の職場では閲覧できます・・）。

(1)　http://scholar.lib.vt.edu/theses/available/etd-08212003-101311/unrestricted/dissertation.pdf
(2)　Wan, K-T, Guo, S. and Dillard, D. A." theoretical and numerical study of a thin clamped circular film under an external load in the presence of residual stress" Thin Solid Films, 425(2003),150-162.

お礼

そうです！
ありがとうございます！
確認してみます！！！