アルミの自重によるたわみ

質問

アルミ板の、自重によるたわみについて教えて下さい。
1000×1000で板厚18ｍｍの板を四隅で支えた場合、中心でたわみは何ミリぐらいになるのでしょうか？
考え方と計算式などありましたら教えていただきたいのです。

追記いたします。
1000×1000の板の4隅の下にサイコロを置いた(板とサイコロ、床はネジにて締結)状態を想定しております。

回答No.7

noname#230359 · ベストアンサー

板を上から見た絵です。

　　Ａ｜￣￣￣￣￣￣￣￣｜Ｂ
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　　　｜　　　　　　　　　　　 ｜
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　　Ｃ｜＿＿＿＿＿＿＿＿｜Ｄ

　　　Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは支点名。

考え方；
?ＡＢで幅10ｍｍの等分布荷重によるたわみを計算する（サイコロの一辺の長さを10ｍｍと仮定）。
??のたわみ量は，板厚に比較して微小として，ＡＣで，同様に，幅10ｍｍの等分布荷重によるたわみを計算する。
?最大たわみ点は，板の中央だから，?の最大たわみ量と?の最大たわみ量を加算する。加算したたわみ量が，板の中央における最大たわみ量とみなす。

計算；
　計算式：δmax＝５ｗＬ＾4／（３８４ＥＩ）
δmax：最大たわみ（ｍｍ）
ｗ：等分布荷重（この場合は，ｗ＝０．４８６ｋｇ／ｍ）
Ｌ：スパン（この場合は，Ｌ＝１ｍ）
Ｅ：アルミの縦弾性係数（Ｅ＝７０ＧＰａ＝７．１ｘ１０＾９ｋｇ／ｍ２とする）
Ｉ：断面二次モーメント（この場合，Ｉ＝４．８６ｘ１０＾（－９）ｍ＾４）

　したがって，Ａ－Ｂでは，
δmax＝(5x0.486x1^4)/(384x7.1x10^9x4.86x10^-9)＝1.83 x 10^(-4) m ＝0.183 mm

　また，Ａ－Ｃでは，同様に，
δmax＝0.183 mm

　板の中央のたわみ量δは，
δ＝0.366 mm
となります。

　＃６の答えと近くなります。

お礼

前回同様、大変丁寧な回答ありがとうございます。
このような回答をいただけると、本当にうれしいものです。
本当にありがとうございました。

回答No.6

noname#230359

サイコロの大きさと厚みを指定できれば有限要素解析で求まります。６０６１材と仮定して４隅を点拘束と仮定すればアウトプットは平面の中心で約０．３３ｍｍのたわみ変形になります。撓みの変化はほぼ、同心菱形様に変化します。（Ｐｒｏ／ＥＮＧＩＮＥＥＲ）
きちんとした結果（もっと詳細な形状を織り込んでの）は解析を扱っている業者に依頼すれば、いろいろなバリエーションデータなど提供していただけるかもしれません。

補足

度重なる回答ありがとうございます。
業者さんにお願いする予算が無く、質問させていただいておりました。
本当にありがとうございました。

回答No.5

noname#230359

今までの回答を出された方へのコメントも含めて。
１）対辺のみ拘束・・・Ｎｏ１、Ｎｏ４の回答に相当
２）全周拘束・・・Ｎｏ２の回答に相当
３）４隅のみ拘束・・・有限要素解析を利用するしか手立てはないというのが実感。
手計算でやるとする場合は四辺形の対角点を拘束して
菱形の断面変化を考慮した計算が基本になると思います。（式の組立は当方のレベルでは実際は想像がつかない）
Ｎｏ１へのコメントですが、｛現実と異なる｝という仮定はちょっと危険です。しかも質問された構造体に対して安全側に（たわみの少ない方）へのリードをされています。ご留意を。

お礼

ありがとうございます。
まずどのように考えるべきかでつまずいています。
いろいろなご意見があり、参考になります。
今後とも宜しくお願いします。

回答No.4

noname#230359

アルミの板を四隅で支持した場合に、ドーム状に撓むのではなく、?かＹ方向に選択的に撓むと想定した場合の撓み量を参考URLの技術計算メニューの「はりのたわみ計算」で計算してみました。
条件は、軟質アルミ平板1000*1000*18の相対する辺を単純支持した場合の自重のみによる撓み。
結果は中央で、0.176mm。
数字を入れ、材料を選択するだけで解が得られますのでお試しください。

参考URL：

http://www.web2cad.co.jp/

お礼

ありがとうございます。
ＵＲＬのご紹介もとても助かります、今後利用していきたいと思います。

回答No.3

noname#230359

＃２で回答したyukioです。
＃２の回答は，４辺支持の場合の計算で，質問の意図を外したようで申し訳ありません。

　＃１の回答を見て，質問の意図と違うことに気づいたので，書かせていただきました。

　角それぞれを４点で支えた場合，＃１の回答のようになり，材料力学の本に計算式はありませんでした。

回答No.2

noname#230359

横幅と立幅は共に1000ｍｍで板厚18ｍｍのアルミ板で，四隅を拘束しないで（曲がることを拘束しない支持）支える，と解釈すれば，材料力学の本に載っている計算式で計算できます。「直方体であって，等分布荷重，４辺支持」の計算式です。

　考え方：アルミ板の自重を等分布荷重に置き換えるて，計算式に入れる。

　計算式：δmax＝αｐａ^4/(Ｅｈ^3)
δmax：最大たわみ（ｍｍ）
α：微小たわみ理論によるたわみ係数（この場合は，α＝0.045）
ｐ：等分布荷重（この場合は，ｐ＝４８．６ｋｇ／ｍ２）
ａ：短辺の長さ（この場合は，ａ＝１ｍ）
Ｅ：アルミの縦弾性係数（Ｅ＝７０ＧＰａ＝７．１ｘ１０＾９ｋｇ／ｍ２とする）
ｈ：板厚（この場合，ｈ＝０．０１８ｍ）

　したがって，
δmax＝0.045 x 48.6 x 1^4/(7.1 x 10^9 x 0.018^3)＝5.28 x 10^(-5) m ＝0.053 mm
δmaxの位置は，中央になります。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
勉強になりました。

回答No.1

noname#230359

有限要素法という手もありますが、四隅に対して対称と仮定してしまうと現実と異なると思います。手近な板か紙で実験するとわかりますが、縦か横かどちらか一方向に曲がってしまいます。したがって幅方向は無視して、一様分布荷重の曲り梁として計算した方が簡単でかなり正確な値が出るのでは無いでしょうか？計算式とアルミの物性値はハンドブック等でわかると思います。

お礼

早速の回答ありがとうございます。