振動の伝達経路ごとの寄与度の算出法

質問

構造物のある点から別の点に伝達する振動について、伝達経路が複数ある場合に「どの経路がどれだけの振動を伝達したのか」という経路ごとの割合を算出したいと思います。

具体的には加振点A,伝達系路上の点B,C,D、応答点Eがあるとして、イメージはこんな感じ

　　　┌-->B-->┐
入力A--->C-->E 出力
　　　└-->D-->┘

このとき、B経由、C経由、D経由のそれぞれの振動が、点Eにおける出力に占める割合を求めたいと思います。

与えられるデータとしては、下記のものがあるとします。
－A,B,C,D,Eの5行5列の伝達マトリクス
－A,B,C,D,Eの振動を同時に計測した時刻歴データ

これらを元に、E点での応答をB経由、C経由、D経由にそれぞれ分離する手法ってありますでしょうか？

回答No.4

noname#221368 · ベストアンサー

自分でも、「しつこいな」と思いましたが、気になって戻って来ました。#3です。#3では、次のような事を考えていました。以下では FEM 風に、Ｂ，Ｃ，Ｄなどの事を節点と呼びます。

　まず時系列モード解析の式を書いてみます。ここで {f(ωit)} は、適当に正規化された三角関数系，ωi は固有角速度，観測された応答時系列ベクトルをＦ，ωi に対応する正規化された固有モードベクトルはＸi などで、その振幅は Ａi などで表します。

　　Ａ1・Ｘ1・f(ω1t)＋(Ａ2・Ｘ2＋Ｂ2・Ｙ2＋Ｃ2・Ｚ2)・f(ω2t)＋・・・＝Ｆ

となると思います。上式の一項目は、重複しない固有値の場合で、二項目は、重複度 3 の固有値の場合です。System Matrix が対称だとすると、{Ｘ1，Ｘ2，Ｙ2，Ｚ2，・・・} を正規直交基底に取れます。

　振幅 Ａi などを求めます、 {f(ωit)} の正規直交性から、

　　Ａ1・Ｘ1＝Ｆ・f(ω1t)（← 成分ごとの関数の内積）

となりますが、Ｆが観測時系列の場合、本当に直上の関係が成り立つか心配なところですが、まぁ～ここは平均的な値を求めよう、という事で、両辺にＸ1をかけて内積を取ります。|Ｘ1|^2＝1 なので、

　　Ａ1＝Ｘ1・Ｆ・f(ω1t)

です。次に二項目の場合も同様に、

　　Ａ2・Ｘ2＋Ｂ2・Ｙ2＋Ｃ2・Ｚ2＝Ｆ・f(ω2t)

です。さらに固有モードの直交性を使うと、

　　Ａ2＝Ｘ2・Ｆ・f(ω2t)
　　Ｂ2＝Ｙ2・Ｆ・f(ω2t)
　　Ｃ2＝Ｚ2・Ｆ・f(ω2t)

となります。よって、

　　Ｄ＝Ａ2・Ｘ2＋Ｂ2・Ｙ2＋Ｃ2・Ｚ2

とおくと、この時点でＤは確定しています。
　ところで、固有値 ω2 に属する固有空間（根空間）の高さをｎとした場合、ｎ節点に関する固有モードが、重複していると思えます。よって、単一節点励起モードのｎ個を、高さをｎの固有空間（根空間）の基底に選べると思うのです。この基底は直交する保証はありませんが、とにかく正規化はできます。それを {x2，y2，z2} とします。x2，y2，z2 の励起振幅 a2，b2，c2 は、基底変換により、

　　a2・x2＋b2・y2＋c2・z2＝Ｄ

で、計算できると思うのです。もちろんこの時も、Ｆとして観測時系列を用いるなら、色々問題はありそうですが、最小二乗法という逃げ道はあります。
　#2さんのお礼のなかで述べられていた考えに近いような気はしているのですが、どうでしょうか？。いちおう物理的な意味もはっきりしていると思うのですが・・・。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.3

noname#221368

#1です。できるだけ簡単に済ませたいという性格のせいか、こんな事を考えました。以下は今まで必要なかったので、やった事はありませんが、出来そうな気もします（気がするだけですが）。

　線形系という事なので・・・。

　例えば固有値にＢ，Ｃ，Ｄの三重根が現れる場合、System Matrix は対称と思いますので、三重根に対応する高さ3の根空間は、高さ3の固有空間となり、根空間の中の任意のベクトルは固有ベクトルです。
　そこでこの任意性を利用して、Ｂだけ，Ｃだけ，Ｄだけ励起されたような固有モードは合成できないかなぁ～、なんて思いました。

　もろ思い付きです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.2

noname#65504

経路Ｂ，Ｃ，Ｄがそれぞれ独立していて、ＢＣ間，ＣＤ間で振動が伝わらないのか、伝わるのかにより、分離できるかどうかもずいぶん代わると思いますよ。

もし完全に独立しているのなら、それぞれの伝達関数から求められると思いますが、独立していないと相互の影響も考慮しなければならず、ほとんど無理ではないかと思います。

後実際利用できるかどうかはわかりませんが、振動インテンシティという方法があります。これは振動が伝わってくる方向と大きさを求める計測方法です。

機械学会などの論文集に文献などがいくつか出ていますので、興味があれば文献調査を行ってみてください。

ただし、まだ確立された技術でなく、求める方法をいろいろ研究される段階で、実用は難しいですね。

お礼

お付き合いありがとうございます。後出しですみませんが、今回のモデルでは全ての区間(AB,AC,AD,BE,CE,DE)が全て線形につながっている前提とします。逆にBC、CD、BDは全くつながっていないとします。

音響インテンシティならかじった事はあります。振動インテンシティ法は確かにありですね。

こんな方法はありだと思いますか？
(1)今回は実際の振動状態で点Aに入力がありますが、その状況においてAではなくB,C,Dに入力が入ったと仮定して(置き換えて)B,C,Dの仮想的な入力を逆解析する。(Aでの外力をゼロと仮定し、B,C,Dに仮想外力を設定する)。
(2)そして「Bのみに入力があった場合のEでの応答」「Cのみに入力があった場合のEでの応答」「Dのみに入力があった場合のEでの応答」を別々に求める(B,C,Dの仮想外力ごとに、Eでの応答を応答解析する)
(3)Eでの振幅を比べる

－(1)の”仮想的な入力”と言う考え方が適切なのかどうか、そもそも分かりません。
－また「Bのみに入力があった場合のEでの応答解析結果」には、B-Eのほかに回り込み(B-A-C-E、B-A-D-E)も生じるので、これを純粋に「Bを経由した応答」と呼ぶのかどうか分からない。

と言うところで行き詰っています。

回答No.1

noname#221368

誰かもう少しいい方法を思いついて下さい。圧縮して言うと・・・。

(1)系の固有振動解析を行い、経路Ｂ，Ｃ，Ｄに対応する固有振動数を特定する。
(2)時系列モード解析（固有振動数を使った、応答時系列のフーリエ分解）を行い、Ｂ，Ｃ，Ｄの励起振幅を調べる。
(4)励起振幅／全振幅＝寄与率とする。

　ちなみに寄与率は耐震工学では正式用語で、(1)～(3)を簡略化した形で、おおよその影響度を表しています。この場合は、固有振動解析だけを用います。

お礼

お付き合いありがとうございます。

No2の方のご指摘もあるので、今回のモデルでは全ての区間(AB,AC,AD,BE,CE,DE)が全て線形につながっている前提とします。

実は耐震工学は少しかじっていますが、モード合成法のようなイメージですね。B,C,Dがローカルモードをもって振動するならばこの方法で実情に近い比率を求められると思いますが、全体が線形系ですと全体モードを持って揺れるのでB,C,Dが同じ周波数で共振する事もあり、分離にはならないので困っています。