ベストアンサー 楕円と円の交点 2008/03/26 13:11 楕円と円の交点を求める方法を教えてください。 みんなの回答 （2） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー noname#160321 2008/03/26 18:43 回答No.2 もう少し付け加えると、交点が二つある、一つある(接点）、交わらない、場合に分けられますね。 いや違う交点が四つ、三つもあるんだった。(恥） 原点の周りに楕円を置き（-a,0)、(a,0)を二焦点とする式を作る。 半径ｒの円をその周りで動かしてみるというのが一番簡単な解き方でしょう。 質問者 補足 2008/03/27 07:50 ご教示いただきありがとうございました。 下記の一般の楕円と円との交点を解析的に求めたいのですが、可能でしょうか? ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 (x-p)^2 + (y-q)^2 = r また、球面上の楕円と円の交点の求め方もお教えください。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 その他の回答 (1) koko_u_ ベストアンサー率18% (459/2509) 2008/03/26 14:28 回答No.1 連立方程式を解く 質問者 お礼 2008/03/27 07:57 ご教示いただきありがとうございました。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 円と楕円の交点 円1 円の中心(A、B) 円の半径R 楕円2 楕円の X軸半径P、Y軸半径Q 中心(X、Y) (これら全ては定数とする) これら円1と楕円2の交点の求め方についてご教示いただけますでしょうか。 円→楕円への写像 単位円 x^2+y^2=1 楕円 (x/a)^2+(y/b)^2=1 があって，原点から半直線を引くと，円と楕円それぞれに交点が出来ますよね？ このとき，円との交点に楕円との交点を対応させる写像はどう書けますか？ ２つの楕円の交点の求め方が分かりません。 ｘ軸方向に長径がa、y軸方向に短径がbの楕円を描きます。・・・・(1) この楕円を、x軸方向にcだけ(ただし、0<c<aとする。)、y軸方向にbだけ平行複写した楕円を描きます。・・・・(2) (1)と(2)の交点P1、P2を求めたいです。 それぞれの楕円は次の式で表されると思います。 x*x/a/a + y*y/b/b=1 ・・・・(1) (x-c)*(x-c)/a/a + (y-b)*(y-b)/b/b=1 ・・・・(2) 両式にa*a*b*bを掛け、差を取ると次のようになります。 b*c*(-2*x+c)+a*a*(-2*y+b)=0 これをxについて解くと x=a*a*(-2*y+b*(1+c^2))/2b/c・・・・(3) となります。 (3)を(1)に代入して整理すると 4*(a*a+c*c)*y*y -4*a*a*b*(1+c*c)*y +b*b*(a*a*(1+c*c)*(1+c*c)-4*c*c)=0・・・・(4) ---------- ================ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ となります。 (4)のうち、---部をA、===部をB、＾＾＾部をC とすると、解の公式より y=(-B±√(B*B-4*A*C)/2/A で解けると思いました。 ためしにa=50, b=30, c=10として計算してみたところ、 √の中が マイナスとなってしまいます。 つまり、解なし、ということらしいです。 どうやったら交点が求まるのでしょうか。 教えてください。よろしくお願いします。 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム 楕円と楕円の交差判定 楕円と楕円が交差しているか、いないかを判定するには 楕円と楕円の交点を求めて、判定するしかないのでしょうか？ 何か良い方法がありましたらご教授下さい。 宜しくお願いします。 楕円と直線の交点を求めるには <楕円> 原点座標：(DX,DY) X軸の半径：a Y軸の半径：b 角度：なし <直線> 始点座標：(SX,SY) 終点座標：(EX,EY) この２つの図形が交わるかどうか、また交わる場合にはその交点の座標を知りたいのです。 「楕円の方程式」「直線の方程式」「解の公式」を使用して手で計算することはできるのですが、 計算式として表すことができません。(中学レベル程度の知識なので・・・) EXCELで数式を設定したいので、上の変数名を使用した具体的な計算式を教えていただければありがたいです。 よろしくお願いいたします。 直線と傾きのある楕円の交点を求めたい 直線と傾きのある楕円の交点を求めたい http://www17.ocn.ne.jp/~lite/pro97doc.html#TOP こちらを参考にさせて頂き、直線と楕円の交点を求める関数を作成しております。 傾きを持たない楕円と直線の交点はこれで求められたのですが、 楕円に傾きがある場合、うまく交点を求められません。 どなたか足りない計算、誤っている箇所等お教え願えないでしょうか。 pt1 :線の始点 pt2 :線の終点 center :楕円の中心座標 radius :楕円の半径 angle :楕円の角度（傾き） henpei :楕円の扁平率 '直線の勾配を求める Dim m As Single = (pt2.Y - pt1.Y) / (pt2.X - pt1.X) '扁平率（ここはかならず長辺/短編？） Dim w As Double = henpei / 100 '楕円の傾き（ラジアン） Dim radian As Single = angle * (Math.PI / 180) '参考元のaとbの長さを求める？ Dim a1 As Single = center.X '原点Xからの中心Xまでの距離 Dim b1 As Single = center.Y '原点Yからの中心Yまでの距離 Dim A As Double = CDbl((m ^ 2) + (w ^ 2)) Dim B As Double = CDbl(-2 * (m ^ 2) * pt1.X + 2 * m * (pt1.Y - b1) - 2 * a1 * (w ^ 2)) Dim C As Double = CDbl((m ^ 2) * (pt1.X ^ 2) - 2 * m * (pt1.Y - b1) * pt1.X + ((pt1.Y - b1) ^ 2) - (radius * w) ^ 2 + (a1 * w) ^ 2) Dim D As Double = CDbl((B ^ 2) - (4 * A * C)) '交点無し If D < 0 Then Return crossPoints '2点を求める Dim x1 As Single = CSng((-B + Math.Sqrt(D)) / (2 * A)) Dim y1 As Single = pt1.Y + m * (x1 - pt1.X) Dim x2 As Single = CSng((-B - Math.Sqrt(D)) / (2 * A)) Dim y2 As Single = pt1.Y + m * (x2 - pt1.X) ２円の交点を通る円 高校数学で２円f(x,y)=0,g(x,y)=0の交点を通る円は、ｋをパラメータとして、 kf(x,y)+g(x,y)=0 と教えていますが、高校生にはちょっと難しいようです。円kf(x,y)+g(x,y)=0が、２円f,gの交点を通ることは理解できるようようですが、f,gの交点を通る任意の円が、kf(x,y)+g(x,y)=0と表記できることを理解させるにはどうすればよいでしょうか。 ２円の交点を通る円 ２円の交点を通る円は、ｆ(x,y)+ｋg(x,y)=0と置くと解けるのは知っているのですが、このように置くアイデアはどこから出てきたのでしょうか？ 楕円と円が微分同相であること 円：S^1={(x,y)∈R^2 | x^2+y^2=1} 楕円：E={(x,y)∈R^2 | (x/a)^2+(y/b)^2=1} に対して，原点を通る任意の半直線はE,S^1のそれぞれ一点で交わる． それらの点を p∈E，q∈S^1 とするとき，q を p に写すことで，S^1 から E への写像 Π が定まる． このとき，Πが微分同相写像であることを示せ． といった問題について教えてください． 微分同相写像であることを示すには， Π：同相写像 かつ Π および Π^(-1) がC^∞写像 を示せばいいと思いますが，そもそも Π がどういった写像になるのかが記述できなくて困っています． 半直線と円の交点から，楕円との交点へと写す写像はどう書けるのでしょうか？ よろしくお願いします． ２次曲線、楕円、双曲線、放物線、準円、準線、軌跡 楕円において、互いに直交する二つの接線の交点の軌跡は、円となり、 準円と呼ばれます。 証明は www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kkawachi/math-misc.files/director_circle.pdf などに書かれています。 同様に、双曲線において、互いに直交する二つの接線の交点の軌跡は、円となり、準円と呼ばれます。 では、なにかあるなめらかな曲線があって、互いに直交する二つの接線の交点の軌跡が円となるとき、もとの曲線は楕円、または、双曲線に限られるのでしょうか? 楕円と直線の交点と曲率半径の関係 楕円曲線式 x^2/a^2+y^2/b^2=1 （原点を中心として、x軸長2a、y軸長2bの楕円） のaが特定されているとして 上記楕円曲線と 直線 y=xtanθ （原点を通る、特定の傾きθの直線） との交点における 楕円の曲率半径が 特定値r であるときに 上記楕円曲線式のbを算出する式を 教えてください 楕円についてなのですが・・・ 前に楕円の幾何学的性質として 「楕円上にある２点から接線を引いた場合、その接線の交点と、接点を直線で結びその結んだ直線の中点の２点を直線で結んだ時、楕円の中心点をその直線は通る。」 とある論文にあったのですが、どうも納得がいきません。この法則はどんな接点に対しても成り立つのでしょうか？ どうか教えてください。お願いします。 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 楕円と円に接する線の長さ 楕円の周りを円が回るときに、その楕円と円に接する接線の長さの求め方を教えてください。よろしくお願いします。 初期状態は、楕円を原点に配置。x^2/25^2+y^2/15^2=1 円の中心(100,0) 半径15 円は原点を中心にして回っていきます。 接線は4本あると思いますが、初期状態で、 楕円との接点は第４象限、円との接点は第1象限です。 回転角θと接線の長さの関係。 結果とプロセスも教えてください。よろしくお願いします。 二つの円の交点を通る円の方程式について。十分性の ｘ＾２＋y＾2＋６ｘ＋８ｙ＋２１＝０ と、x＾2＋y＾2－１６＝０の交点を通る円について考えます。 ｘ＾２＋y＾2＋６ｘ＋８ｙ＋２１＋ｋ（x＾2＋y＾2－１６）＝０ ただしｋ≠－１ となるわけですが、 交点の座標は二つの円の方程式を同時に満たしますから、 交点においては、上の方程式が成り立つのはわかるのですが、 すると上の方程式は円の方程式を表します。 ここまではわかるのですが、 上の方程式を変形して、 ｘ＾２＋y＾2＋{６/k＋１}ｘ＋{８/k＋１}ｙ＋{２１－１６k/k＋１}＝０ これがもし交点を通るならば上の方程式は成り立つのはわかるのですが、 ※なぜなら、交点は変形前の方程式を満たしますから、当然それを同値変形した方程式も成り立つから。 で、ここで必要条件が得られたことになります。 問題は、これがどうして交点を通る円といえるのかです。つまり十分条件をどうして言えるのか。です。 また、ｋ＝－１のとき直線ですが、これはよいとしまして、 ｘ＾２＋y＾2＋{６/k＋１}ｘ＋{８/k＋１}ｙ＋{２１－１６k/k＋１}＝０が交点を通るすべての円を表しているとどうして言えるのか。ということがなんとなくわかりません。 {６/k＋１}、{８/k＋１}、{２１－１６k/k＋１}について考えますと、 ｋは実数ですから、例えば{６/k＋１}なんかは０以外のすべての実数をあらわしているのか。 また、{２１－１６k/k＋１}なんかはｋが１６分の２１のときには０ですから、すべての実数を表すことができるのでしょうか。 ややこしい質問ですいません。わかる人宜しくお願いいたします。 二つの円の交点を通る直線 二つの円C、Dが二点で交わる時、 方程式 k(Cの式)＋(Dの式)＝0(kは定数)は kノットイコール－1のとき二つの円の交点を通る円 k＝－1のとき二つの円の交点を通る直線 これは何故そうと言えるのですか？ ３次元空間中の２つの円の交点の求め方 ３次元空間において、２つの円の各中心座標(x,y,z)、各法線ベクトルおよび各半径が分かっているときに、これらの円が作る交点(x,y,z)を求める方法を教えてください。できれば、交点がいくつ存在するかを示す判別式もお願いします。 ２円の交点と原点を通る円 数学の問なのですが分からなくて困っています。 円 x^2+y^2-2x-2y-11=0 と x^2+y^2+4x-4y-17=0について (1)２つの円の交点を通る直線の方程式を求めよ。 (2)２つの円の交点及び原点を通る円の方程式を求めよ。 という問です。 (1)の問は自力でy=3x-3と解が出て合っているのですが(2)が解けません。 やはり(1)を使い解くのでしょうか？ 回答よろしくお願いします。 楕円計算で困っています 長径2a、短径2bの楕円があり、長軸と短軸の交点座標（いわゆる中心点）を(0,0)とする この中心点からx軸からの角度αで直線を引き、楕円との交点座標を（x1,y1）とし、 また、この座標がx軸に対して対称な座標を（x1,-y1）とする この2点に対して楕円の接線を引いて、2つの線の角度をβとする この条件で(x1,y1)座標と角度βを、a,b,角度αを用いて表現する方法はないでしょうか？ 色々考えてみたのですがどうも上手くいきません。 どうかよろしくお願いします。 円と直線の交点を通る円 次の問題について教えてください。 問題「円x^2+y^2=25と直線y=x+1の2つの交点と原点Ｏを通る円の方程式を求めよ。」 『チャートII＋Ｂ』（数研出版） 解答では k(x-y+1)+x^2+y^2-25=0 に(0,0)を代入するとk=25 よって、x^2+y^2+25x-25y=0 が求める方程式。 なのですが、 解説の「２曲線の交点を通る曲線の方程式」では、 f,gが円を表すとき、 kf+g=0 は k=-1のとき 2つの交点を通る直線 k=-1でないとき、2つの交点を通る円 を表す。 とあるので、これに沿って 求める円を x^2+y^2+ax+by+c=0 として k(x^2+y^2-25)+x^2+y^2+ax+by+c=0 とおき、 k=-1のときが交点を通る直線なので 2円 x^2+y^2=25、x^2+y^2+ax+by+c=0 の2つの交点を通る直線が y=x+1 つまり x-y+1=0 ・・・(1) となると考えました。 ところがこれでは -( x^2+y^2-25)+x^2+y^2+ax+by+c=0 ・・・(2) ax+by+c+25=0 だから(1)と係数を比較するとc=-24となります。 一方求める円は(0,0)を通るから(2)に代入するとc=-25となります。 いずれも答えになりません。 これはどういうことなのでしょうか？ 何が間違っていたのかわかりやすく解説ください。 楕円について。至急解答お願いします！ 準線（円）と焦点について、円の中心をF1,楕円の焦点をF2,F1から引いた半径と楕円の交点をP,その半径と円周の交点をQとします。 このとき、F1P＋F2P=一定となる点の集合だという事を証明するために、F2P=PQであると証明しなさい。という問題です。中学内容の二次関数で、放物線の性質（放物線は焦点と準線からの距離が等しい点の集合である）の発展・応用です。 また、追加なのですが、この結果から「Pは焦点と準線からの距離が等しい事が言えたので他の全ての楕円上の点についても同様の事が言え、楕円Pは放物線であるともいえる」とできますか？準線が直線ならば放物線、円ならば楕円になる、というような形で。 教えてください。よろしくお願いします。 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ！負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
補足
ご教示いただきありがとうございました。 下記の一般の楕円と円との交点を解析的に求めたいのですが、可能でしょうか? ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 (x-p)^2 + (y-q)^2 = r また、球面上の楕円と円の交点の求め方もお教えください。