最大値についての問題

質問

h=aπxe^(-(x^2+y^2)/2)
と置いた場合、hの最大値を、求めよ。
ただし、(x,y)は、
(x+1)^2+(y+1)^2=3
を、満たすものとする。

hを極座標に置き換えて、θの式で表して、それを微分して最大値を取る場所を探そうとしてみたのですが、この方法では、式がぐちゃぐちゃになってしまい、dh/dθ=0を求めることも出来ませんでした。

どなたかよろしくお願いします。

回答No.2

noname#168349

x'=x+1,y'=y+1
となるような座標x',y'をとると
h=aπ(x'-1)e^(-(x'-1)^2+(y'-1)^2)/2)　　　・・・(1)
x'^2+y'^2=3　　　　　　　　　　　　　　　・・・(2)
と変換されます。(1)を
x'=r'cosθ',y'=r'cosθ'
を使って、極座標に書き換えてはどうでしょうか？
(2)よりr'=sqrt(3)なので、hはθ'のみの関数になっているはずです。
hをθ'微分して極値を与えるθ'を得られるのでは？と思います。
ただし、実際に計算したわけではないので、机上の空論になっているかもしれません。
それから、aの正負が与えられていないならば、場合わけしろってことでしょうか。

お礼

解答有り難うございました。

回答No.1

info22

＞　hを極座標に置き換えて、θの式で表して、それを微分して最大値を取る場所を探そうとしてみたのですが、この方法では、式がぐちゃぐちゃになってしまい、dh/dθ=0を求めることも出来ませんでした。

質問する場合はちゃんと式を書いて頂かないと回答できません。
問題の丸投げになってマナー違反に該当しますので補足にやった範囲の解答を書いて下さい。

また質問の仕方で問題の丸投げをしないで
k=h/aで置き換えて質問するが？
aを具体的に与えるか、少なくともaの正負を限定するとか
して頂かないと最大値が定まりません？

例えば、グラフ的に調べると
a>0の場合 hの最大値は 1.492 a 位
a<0の場合 hの最大値は 1.4577|a| 位
になります。

お礼

式がほんとにえらいことになってしまったもので、書くのを手抜きしてしまいました＾＾；

aの範囲は、
0<a<<1
です。

自己解決してしまいました。
有り難うございました。