数学II 微分 最大値を求める問題

質問

問題は
aは　―３≦a≦２　を満たす実数をする。　関数　y=-2x^3+3x^2+12x-13　の　a≦x≦a+1　における最大値を求めよ。　という問題です。

それで、この関数がどのようなグラフになるかというのはわかったのですが、

a=-3　のときに、y=32　となり、「a=-3 のとき　最大値32」と求めたのですが、

解答には、
「-3≦a＜-√78/6　のとき　最大値　-2a^3+3a^2+12a-13」となっていて、

a=-3 のときに　32　をとるはずなのに、　aの範囲も -3≦a≦2　となっていて、
a=-3 の値ももとめなければならないはずなのに

なぜ　-3≦a＜-√78/6 と、まとめてしまうのでしょうか？

回答No.2

Kules · ベストアンサー

ちょっと説明しにくいですが、
aの値が決まる→xの範囲が決まる→xを動かした時の最大値が決まる
という流れです。
>aは　―３≦a≦２　を満たす実数をする
とあるのでa=-3の時だけのことを考えちゃだめですよね。

このグラフに限らず、xの範囲が決まった時の最大値は
範囲の右端（xが最大となる点）
範囲の左端（xが最小となる点）
極大値（ない時もある）

のいずれかです。
このグラフがどんな形になるかは分かっているんですよね？
減って→増えて→減って、
という形です。
ということは、xの範囲が「減って」の部分にある場合は範囲の左端が最大値となり、
xの範囲が「増えて」の部分にある場合は範囲の右端が最大値となります。
xの範囲が「増えて→減って」の部分にある時は、極大値を挟んでいるため最大値は極大値となるところになりますね。

問題は、xの範囲が「減って→増えて」の部分にある時です。減ってから増えているということは、
右端と左端のどちらが大きいかわかりません。
ということで、xの範囲の左端（x=a）と右端（x=a+1）のどちらが大きいか知る必要があります。

最初（a=-3）の時はxの範囲は「減って」の部分ですから、最大値はx=aの時となります。
そこから、x=a+1の時のyの値がx=aの時の値をいつ追い越すか、が大事ですね。
(x=aの時のyの値)≧（x=a+1の時のyの値）を満たすaの範囲を調べる必要があります。
これを解くと、a≦-√78/6
という範囲が出てくると思います。

話がごちゃごちゃしましたが、大事なのは
aの値が決まる→xの範囲が決まる→xを動かした時の最大値が決まる
という順で考える必要があるということです。aを自由に動かしてa=-3の時最大値！と言っても全く話は済んでいないということに注意してください。

参考になれば幸いです。

お礼

回答ありがとうございます<(_ _)>

回答、わかりやすかったですし、言ってる意味が伝わりました。

>そこから、x=a+1の時のyの値がx=aの時の値をいつ追い越すか、が大事ですね。
ここが特に理解しやすい内容でした。

本当にありがとうございますm(_ _)m

回答No.1

longsu

問題はａ≦x≦a+1における最大値を求めよといっているのであって、-3≦x≦2における最大値を聞いているのではないです。回答は、aの他の範囲、例えば(-√78))/6より大きい範囲についても述べる必要があるように思うのですが

お礼

回答ありがとうございます。

勘違いしていました。