第8回広中杯全国中学生数学大会トライアルの問題について

質問

http://sansu-olympic.gr.jp/2007_try_sokuhou/　の第8回広中杯全国中学生数学大会トライアル解答速報！！！に載っている問題を学校で一部やりました。今月末のテストでここの問題がテスト範囲に入っているのですが、ホームページには解答のみで解説がなく、手がかりもつかめず困っています。
Iは一応やったのですが、II以降は分かりません・・・。
解説をお願いします。

回答No.1

dio-chan

II(4)について考え方を説明します。

すべての内角が120°の六角形ですから、一番シンプルな形は正六角形ですね。
そこで一辺が１の正六角形を描いて中心を通る対角線をひき正三角形を６個作ってみましょう。
六辺の長さの和が 21 なので、すべて整数のとき、各辺の長さは１、２、…、６となります。
左端の一辺を基準にして右上下に延長線をひき、長さ１ずつに目盛って先ほどと同じ正三角形を沢山描いてみてください。
ぐるりと一回りして元に戻ってくる六角形を考えると、次の２つが考えられます。
　　　　　　１，６，２，４，３，５
　　　　　　１，６，３．２，５，４
どこをA,B,C,…としてもいいのですが、三角形ACEと六角形ABCDEFの中の正三角形の数を数えて見ましょう。
これで答えが出ます。
実際はACなどを対角線とする平行四辺形を考えて数えるほうが早いです。
もっと上手い考え方もありますが取りあえずは一つのヒントです。
他の問題は解りましたか？

補足

平行四辺形を書いて、１～６の長さの辺の組み合わせを考えて、三角形ACEを作って・・・という感じでやってみたのですが、解答にある2つの答えのうち、２～３種類書いてやってみても全て同じ答えになって悩んでいました。
ここまでしか分かりませんでした・・・。