微分公式

質問

微分公式にの導きかた(定義）についておしえてください。
できれば、くわしく教えてほしいです。

(1)
(e＾x)'=e＾x

(2)
(logx)'=1/x (x>0)

(3)
(log|x|)'=1/x

回答No.3

syaname

(1)
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/keisan/henkan-tex.cgi?size=3&target=/math/category/bibun/keisan/diff-e%5Ex.html

(2)(3)
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/keisan/henkan-tex.cgi?size=3&target=/math/category/bibun/keisan/diff-logx.html

を参照すればいいとおもいます。

回答No.2

fushigichan

tati353さん、こんばんは。
まず、(2)から導きます。

＞(2)
(logx)'=1/x (x>0)

定義に従って、微分していきます。
{log(x+h)-logx}/hを、まず考えてみましょう。
{log(x+h)-logx}/h=1/h{log(x+h)-logx}
　　　　　　　　　=1/hlog(x+h)/x
　　　　　　　　　=1/hlog{1+(h/x)}
ここで、h/x=kとおくと、h→0のとき、k→0ですね。

1/hlog{1+(h/x)}=1/kxlog(1+k)=1/xlog(1+k)^1/k
ここで、h→0,k→0のとき、(1+k)^1/k→e

ゆえに、
(logx)'=lim{log(x+h)-logx}/h
　　　　h→0
　　　　=1/xloge=1/x・・・（証明終わり）

＞(1)
(e＾x)'=e＾x

指数関数と対数関数は、互いに逆関数の関係にあるから、
逆関数の微分方法
dy/dx=1/(dx/dy)
を用いればいいでしょう。

y=e^xとおくと、y>0で、x=logyです。
xは単調増加で、微分可能であって、両辺yで微分すれば、
dx/dy=1/y>0
ゆえに、xの逆関数yも微分可能で、
dy/dx=1/(1/y)=y=e^x

したがって(e^x)'=e^x・・・（証明終わり）

＞(3)
(log|x|)'=1/x

これは、場合わけすればいいと思います。
まずは、x>0のときは、(2)と同じですから
(log|x|)'=1/xが成り立ちます。

x<0のときを考えてみましょう。
(log|x|)'={log(-x)}'=1/(-x)*(-x)'=1/x
となるので、

(log|x|)'=1/x・・・（証明終わり）

となります。一度やってみてくださいね。

回答No.1

rei00

教科書に載っているような気がしますが・・・。下記サイトにも出ている様ですので，御覧になってみて下さい。

　　◎ 微分積分いい気分

　「微分 2」の「指数函数, 対数函数の微分」です。

参考URL：

http://phaos.hp.infoseek.co.jp/contents.htm