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微分公式

2003/05/15 17:38

微分公式にの導きかた(定義）についておしえてください。できれば、くわしく教えてほしいです。 (1) (e＾x)'=e＾x (2) (logx)'=1/x (x>0) (3) (log|x|)'=1/x

tati353
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数学・算数
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syaname
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2011/01/05 14:46 回答No.3

(1) http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/keisan/henkan-tex.cgi?size=3&target=/math/category/bibun/keisan/diff-e%5Ex.html (2)(3) http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/keisan/henkan-tex.cgi?size=3&target=/math/category/bibun/keisan/diff-logx.html を参照すればいいとおもいます。

fushigichan
ベストアンサー率40% (4040/9937)

2003/05/15 19:11 回答No.2

tati353さん、こんばんは。まず、(2)から導きます。＞(2) (logx)'=1/x (x>0) 定義に従って、微分していきます。 {log(x+h)-logx}/hを、まず考えてみましょう。 {log(x+h)-logx}/h=1/h{log(x+h)-logx} 　　　　　　　　　=1/hlog(x+h)/x 　　　　　　　　　=1/hlog{1+(h/x)} ここで、h/x=kとおくと、h→0のとき、k→0ですね。 1/hlog{1+(h/x)}=1/kxlog(1+k)=1/xlog(1+k)^1/k ここで、h→0,k→0のとき、(1+k)^1/k→e ゆえに、 (logx)'=lim{log(x+h)-logx}/h 　　　　h→0 　　　　=1/xloge=1/x・・・（証明終わり）＞(1) (e＾x)'=e＾x 指数関数と対数関数は、互いに逆関数の関係にあるから、逆関数の微分方法 dy/dx=1/(dx/dy) を用いればいいでしょう。 y=e^xとおくと、y>0で、x=logyです。 xは単調増加で、微分可能であって、両辺yで微分すれば、 dx/dy=1/y>0 ゆえに、xの逆関数yも微分可能で、 dy/dx=1/(1/y)=y=e^x したがって(e^x)'=e^x・・・（証明終わり）＞(3) (log|x|)'=1/x これは、場合わけすればいいと思います。まずは、x>0のときは、(2)と同じですから (log|x|)'=1/xが成り立ちます。 x<0のときを考えてみましょう。 (log|x|)'={log(-x)}'=1/(-x)*(-x)'=1/x となるので、 (log|x|)'=1/x・・・（証明終わり）となります。一度やってみてくださいね。