1+2+3+・・・・・＝-1/12 の意味について

質問

ゼータ関数ζ(s)でｓ＝－１のとき
　1+2+3+4+5+・・・・・・＝-1/12
となることを知りました。
これは常識的に考えると明らかに間違いだと思うのですが、
本には間違いとは書かれておりません。
なにか意味があるのでしょうか？

回答No.6

sanori · ベストアンサー

すでに回答があるように、複素関数論を使うと、ちゃんと、そういう答えにたどり着くんだそうです。

１年ぐらい前の、「たけしの誰でもピカソ」でやっていましたが、
ｓ＝－１　のとき、－１／１２　になることは、な、なんと！！！　物理的に意味があるらしいです。
（番組中、紹介されたのは、ｓ＝２，４，６、－１、－２、－３　です。）

ζ（－１）＝　１＋２＋３＋４＋・・・・・　＝　－１／１２
という答えがあることによって、
我々が住んでいるこの宇宙が成り立っている、ということがわかってきた！　んだそうです。
（私には、なんのこっちゃ分かりませんが、驚きました。）

やはり、同じ番組ですが、
ζ(－３）　＝　１^3＋２^3＋３^3＋４^3＋・・・・・　＝　１／１２０
については、
１９９７年に「カシミール効果」という不思議な物理現象の実験で実証された！　とのことです。

以下、カシミール効果関連のリンク
http://hp.vector.co.jp/authors/VA011700/physics/casimir.htm
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%B7%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%8A%B9%E6%9E%9C

こちらはｐｄｆファイル
http://www.kitasato-u.ac.jp/sci/resea/buturi/hisenkei/nakamula/nii.pdf

お礼

物理的に意味があるというのはすごいですね。
カシミール効果は　ζ(－３）と関連するのですね。
ζ(－1）がこの宇宙にどのように係わっているのか知りたいものです。
また新たな知識をありがとうございました。

回答No.7

zk43

計算的には、
ζ(s)=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+…
Φ(s)=1-1/2^s+1/3^s-1/4^s+…
とすると、
Φ(s)=(1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+…)-2(1/2^s+1/4^s+…)
=ζ(s)-2/2^s*ζ(s)=(1-2^(1-s))ζ(s)
より、
ζ(s)=Φ(s)/(1-2^(1-s))
ここで、
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+…
の両辺を微分すると、
1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+…
x=-1とすると、
1/4=1-2+3-…=Φ(-1)
よって、
1+2+3+…=ζ(-1)=Φ(-1)/(1-2^2)=(1/4)/(1-4)=-1/12
となる。
級数の収束範囲とか考えると正確な議論ではないですが、オイラーが
このような計算をし、後に100年くらい経ってリーマンが解析接続とい
う概念により意味づけを行いました。
ζ(s)=1+1/2^s+1/3^s+…は、sが複素数の範囲で考えると、sの実部が
1より大きい時に収束します。
そこで、ζ(s)の微分可能性を保ったまま、sの実部が1以下のところま
で、定義域を拡張（解析接続）すると、s=-1のときの値が-1/12となっ
たわけです。（ちなみにs=1のときだけ微分可能ではありません。
ζ(1)=1+1/2+1/3+…=∞となっています。有名な調和級数）
実関数の場合は、たとえばf(x)=x^2（x>0)を微分可能なままx≦0にまで
定義域を拡張する方法は、f(x)=0、f(x)=-x^2、・・・など無限通りあ
りますが、複素関数の場合は、微分可能なまま定義域を拡張する方法
は唯一通りしかありません。（一致の定理というのがあり、集積点を
もつ点集合上で値が一致する二つの微分可能な関数があったとすると、
実はこの二つの関数は、領域全体で同じ値をとる、というような定理）
従って、複素関数の微分可能というのはすごく厳しい条件であるといえ
ます。例えば、単位円板上で微分可能な関数は、円の周囲での値を決め
ると、円の中での値も決まってしまいます。
実関数の場合は、区間の端点の値を決めても、この区間で微分可能な
関数は無限にあり、これが複素関数との大きな違いです。
また、この他にも、1×2×3×4×…=√(2π)など、いろいろ面白いもの
があります。オイラー関連の本を調べると、いろいろ関連のものがあり
ます。

お礼

ありがとうございます。
参考になりました。

回答No.5

info22

#2ですね。
数学はできないことがあれば、できるように拡張して発展し、それが拡張前にできなかったことが、拡張によって簡単に解決する。といった繰り返しの歴史ですね。
∞とすればその先は行き止まりです。それを突破するのに、複素平面や複素関数が考え出されて、まだまだ発展していくでしょうね。

正数だけの世界
小数点や分数の世界
負数の世界
べき乗の指数部が正整数→負数やゼロへの拡張→分数への拡張→実数（小数点のある数）→複素数への拡張
べき乗の基数へ負数や複素数へ拡張((1+3i)^5.3,(-5)^(2/3)など）
初等関数の変数に負数や複素数への拡張(sin(2+3i),√(-5.3),√(2+3i),log(2+3i)など）
となって行きます。
複素関数のおかげで、従来できなかった微積分が簡単にできるようになったこと。(∫x/sin(x)dxなど)

空間も4次元以上の空間の数学も発達して、次元の概念も
点（0次元）→直線・数直線（一次元）→平面・（2次元）
→位置空間・XYZ座標系（三次元）→位置と時間空間（4次元空間）
ときて、最近は5次元空間で物理学の数式を説明するとうまく説明できる。
という事で5次元世界が現実に存在すると証明されたとか？（ノーベル賞）
勿論5次元世界からわれわれの三次元＋時間の4次元世界を眺めると紙ッペラのような存在で、われわれのような4次元世界がたくさん存在して、それらの世界の間でエネルギーが行き来しているとしています。
直接見えない世界ですから理解は難しいですね。

でもそういう風に数学が進歩し、実際の物理現象の解析に役立っていると言えるでしょうね。

三次元世界のグラフや曲面がノートパソコンと数学処理ソフトを使って簡単に描いたり、方程式を解いたり、積分が簡単にできたり、円周率も何桁でも簡単に計算できる時代です。数学の進歩とパソコン（ソフトを含む）の発達のおかげです。
何か分からない曲線のグラフや曲面をあっという間に描いてくれたり、その曲面を任意の方向から見た図が簡単に表示できるようになって、ますます数学も面白くなってきます。

お礼

数学って面白いですね。
私は初心者の域を出ませんが、少しずつでも理解を深めて生きたいと思っています。
素数の2や3が複素数を使うと素因数分解できるのもひとつの拡張ですね。
レベルが低くて申し訳ないです。

回答No.4

KappNets

No.1です。s=-1の例は下記に解説されています。
http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function
http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html
（私は専門家ではありませんので、紹介までで終わりです）

お礼

資料、ありがとうございます。
大体のところは本で見ています。
とにかく不思議ですね。
実数の世界と複素関数の世界で同じ式が別の答えになるなんて・・・。
実数の世界でも複素関数の世界でも1は1、2は2、3は3ですよね。

回答No.3

KappNets

No.1です。s=-1の例は下記に解説されています。
http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function
（私は専門家ではありませんので、紹介までで終わりです）

回答No.2

info22

不思議ですね。
正の数を無限大の項数加えれば正数になるか、無限大に発散しその値が分からない。
しかし、実数の世界を、無限大の世界や複素関数論の世界に拡張すると、実数の世界の常識が通用しない世界が顔を出します。

ζ（－１）＝１＋２＋３＋４＋・・・＝－１／１２
ζ（－２）＝１^2 ＋２^2 ＋３^2 ＋４^2 ＋・・・＝０
左辺の項は全て1以上の正の数で後の項ほど大きくなって無限大の項になっていきます。実数の世界では∞＋∞は∞と考えるのが普通でしょうね。
しかし∞という数は存在せず、限りなく大きい数の極限の状態で数ではないという事でしょう。そういう極限の世界まで実数の演算を拡張すると、実数の世界では想像のつかない結果がでてくるのですね。
|x|＜1の等比数列の無限項和は
1+x+x^2+x^3+x^4+...=1/(1-x)
となることは高校の教科書にも載っている公式ですね。
この両辺をxで微分すると
1+2x+3x^2+4x^3+...=1/(1-x)^2
となります。
この式で収束条件の|x|<1の境界のx→1-0とすると
1+2+3+4+...=1/(-0)^2=∞　（高校の数学の範囲内の扱い）
となります。
ζ(-1)=-1/12　（複素関数論に拡張した数学の世界での扱い）
の結果とは明らかに異なった結果になりますね。
「1+2+3+4+...」の「...」の部分の扱いによって複素関数論を適用した結果がゼータ関数ζ(s)を使ってζ(-1)で扱えることが発見されたわけですね。
この辺りの詳細は参考URLをご覧下さい。

参考URL：

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/oira-.htm

お礼

詳しい説明ありがとうございます。
URLも面白く拝見させていただきました。
当方の数学知識は、高校の数IIIまでですが、定年前になってふとしたきっかけで数学が懐かしくなり、最近は本をあさりながら少し高度な数学を覗き見しています。
結論は、「複素数の世界では実数の世界で考えられないことが存在し得る。」と言うことでしょうか。それ以上は私の理解力の範囲を超えているようです。もう少し勉強してみます。（納得できる日が来るのかな？）

回答No.1

KappNets

公式集を見るとツェータ関数は Real(s)>1 とあり、s=-1 は想定されていないようです。下記ではs>1で収束、0<s<1で発散と書いてあります。

bme.web.infoseek.co.jp/physics/pdf/atypical_function.pdf

お礼

コメントありがとうございます。
数学ではS<0もあるみたいです。